ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ลำดับเรขาคณิต"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
||
บรรทัด 61:
[[ผลคูณ]]ของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่า[[มัชฌิมเรขาคณิต]]ของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้ว[[ยกกำลัง]]ด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้
::<math>\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left( \sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1}</math> เมื่อ <math>a, r > 0</math>
;พิสูจน์
กำหนดให้ผลคูณของการก้าวหน้าเลขคณิตแทนด้วย ''P''
::<math>P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}</math>
รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้
::<math>P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+n}</math>
นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ ''r''
::<math>P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>
::<math>P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}</math>
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
::<math>P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}</math>
และในที่สุดก็จะได้
::<math>P^2=(a_1 \cdot a_{n+1})^{n+1}</math>
::<math>P=(a_1 \cdot a_{n+1})^{\frac{n+1}{2}}</math>
== ดูเพิ่ม ==
| |||