ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ดาวแคระขาว"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ไม่มีความย่อการแก้ไข |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 40:
ดาวแคระขาวมีกำลังส่องสว่างต่ำและปรากฏเป็นแถบใต้ [[HR Diagram|Hertzsprung-Russell diagram]] ซึ่งเป็นกราฟที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างกำลังส่องสว่างกับสีหรืออุณหภูมิ มันไม่ไปปะปนกับวัตถุมวลน้อยอื่น ๆ ของแถบลำดับหลักเช่นดาวแคระแดงที่จุดไฮโดรเจนนิวเคลียร์ฟิวชันที่ใจกลางมีความดันจากอุณหภูมิหรือดาวแคระน้ำตาลที่มีอุณหภูมิต่ำ
===ความสัมพันธ์ระหว่างมวลกับรัศมีและขีดจำกัดมวล===
เป็นการง่ายที่จะหาความสัมพันธ์อย่างคร่าว ๆ ระหว่างมวลกับรัศมีโดยใช้การใช้ Energy minimization argument พลังงานของดาวแคระขาวสามารถประมาณได้จากการรวมกันของ[[พลังงานศักย์โน้มถ่วง]]และ[[พลังงานจลน์]] พลังงานศักย์โน้มถ่วงของหน่วยมวลของดาวแคระขาว E<sub>g</sub> จะคือ -GM/R เมื่อ G เป็น[[gravitational constant]] M เป็นมวลของดาวแคระขาวและ R เป็นรัศมี พลังจลน์ต่อหน่วยมวล E<sub>k</sub> ขั้นต้นจะหาได้จากการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน ดังนั้นจึงมีค่าประมาณ N p<sup>2</sup>/2m เมื่อ p เป็นโมเมนตัมเฉลี่ยของอิเล็กตรอน m คือมวลอิเล็กตรอนและ N คือจำนวนอิเล็กตรอนต่อหน่วยมวล เพราะอิเล็กตรอน [[degenerate]] ดังนั้นจึงสามารถประมาณ p ได้จากหลักความไม่แน่นอนของโมเมนตัม Δ''p'' จาก Δ''p''Δ''x'' ในออร์เดอร์ของ [[Planck constant]] ''ħ'' และ Δ''x'' คือระยะทางเฉลี่ยระหว่างอิเล็กตรอนซึ่งประมาณ ''n''<sup>-1/3</sup> นั่นคือ รากที่สามของจำนวนความหนาแน่น เมื่อ n คือจำนวนอิเล็กตรอนต่อหน่วยปริมาตร เพราะว่า N M อิเล็กตรอนในดาวแคระขาวและปริมาตรของมันอยู่ในออร์เดอร์ R<sup>3</sup> n จึงอยู่ในออร์เดอร์ของ ''N M''/''R''<sup>3</sup>
ในการพิสูจน์หาพลังงานจลน์ต่อหน่วยมวล E<sub>k</sub> หาจาก
::<math>E_k \approx \frac{N (\Delta p)^2}{2m} \approx \frac{N \hbar^2 n^{2/3}}{2m} \approx \frac{M^{2/3} N^{5/3} \hbar^2}{2m R^2}.</math>
ดาวแคระขาวจะอยู่ในสภาพวะสมดุลเมื่อ ''E''<sub>''g''</sub> + ''E''<sub>''k<''/sub> มีค่าต่ำสุด จากจุดนี้จึงสามารถเปรียบเทียบพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ได้ ดังนั้นเราจึงหาความสัมพันธ์ของมวลและรัศมีโดยการคำนวณขนาดของมัน
::<math>|E_g|\approx\frac{GM}{R} = E_k\approx\frac{M^{2/3} N^{5/3} \hbar^2}{2m R^2}.</math>
พิสูจน์หารัศมี ''R'', ให้
::<math> R \approx \frac{N^{5/3} \hbar^2}{2m GM^{1/3}}.</math>
ตัด ''N'' ซึ่งขึ้นกับองค์ประกอบของดาวแคระขาวและ Universal constants ทิ้ง เหลือความสัมพันธ์ของมวลกับรัศมี
::<math>R \sim \frac{1}{M^{1/3}}, \,</math>
นั่นคือรัศมีของดาวแคระขาวแปรผกผันตามสัดส่วนของรากที่สามของมวลเพราะการวิเคราะห์นี้ไม่ใช้สูตรสัมพัทธภาพ คือ ''p''<sup>''2''</sup>/''2m'' สำหรับพลังงานจลน์ ถ้าเราวิเคราะห์สถานการณ์ที่ความเร็วของอิเล็กตรอนในดาวแคระขาวใกล้เคียงกับความเร็วแสงมาก c เราต้องแทน ''p''<sup>''2''</sup>/''2m'' ด้วยการประมาณ relativistic ''p c'' สำหรับพลังงานจลน์ ถ้าแทนด้วยการประมาณนี้จะได้
::<math>E_{k\ {\rm relativistic}} \approx \frac{M^{1/3} N^{4/3} \hbar c}{R}.</math>
ถ้าเราเปรียบเทียบกับขนาดของ E<sub>g</sub> เราจะพบว่า ''R'' ตัดออกจากมวลและถูกบังคับให้กลายเป็น
::<math>M_{\rm limit} \approx N^2 \left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}.</math>
[[Image:WhiteDwarf mass-radius.jpg|thumb|350px|right| แบบจำลองความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีและมวล]]
จะเห็นว่าว่าเมื่อเราเพิ่มมวลให้กับดาวแคระขาว รัศมีของมันก็จะลดลง จากการใช้หลักความไม่แน่นอนจะพบว่าโมเมนตัมหรือความเร็วจะเพิ่มขึ้นจนความเร็วใกล้เคียงแสง การใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะแน่นอนแม่นยำที่สุด หมายความว่ามวล ''M'' ของดาวแคระขาวจะต้องเข้าใกล้ ''M''<sub>''limit''</sup>
เพื่อที่จะทำให้การคำนวนความสัมพันธ์ระหว่างมวลและรัศมีเพิ่มขึ้นและขีดจำกัดมวลของดาวแคระขาวแม่นยำขึ้น ต้องคำนวณสมการสถานะซึ่งจะอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นและความดันในสสารของดาวแคระขาวด้วย ถ้าให้ความหนาแน่นและความดันทั้งคู่เป็นฟังก์ชันของรัศมีจากศูนย์กลางของดาว สมการของระบบก็จะประกอบด้วย [[hydro static equation]] พร้อมกับสมการสถานะจะสามารถแก้สมการเพื่อหาโครงสร้างของดาวแคระขาวในสภาวะสมดุลได้ ในกรณีของ non-relativistic เราจะยังคงหาได้ว่ารัศมีแปรผกผันกับสัดส่วนของรากที่สามของมวล การแก้โดย Relativistic จะได้ผลลัพธ์ที่เปลี่ยนแปลงไปคือรัศมีจะกลายเป็น 0 เมื่อมีมวลเท่ากับขีดจำกัดมวล(หรือขีดจำกัดจันทรเสขาร)เมื่อดาวแคระขาวไม่สามารถที่จะถูกพยุงด้วยความดัน electron degeneracy ได้ จากกราฟแสดงให้เห็นถึงผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณเส้นสีน้ำเงินคือแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงรัศมีและมวลซึ่ง non-relativistic และเส้นสีเขียวคือ relativistic แบบจำลองทั้งสองถูกแก้โดยให้ดาวแคระขาวเป็นแก๊สเฟอร์มิเย็นในสภาวะสมดุล hydrostatic ค่าเฉลี่ยของมวลโมเลกุลกำหนดให้เป็น 2 มวลและรัศมีถูกวัดในหน่วยเท่าของดวงอาทิตย์
{{ดาวฤกษ์}}
| |||