ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ตัวหารร่วมมาก"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ย้อนการแก้ไขที่ 8962693 สร้างโดย 134.196.71.71 (พูดคุย)
ป้ายระบุ: ทำกลับ
Nicewebsite (คุย | ส่วนร่วม)
แก้ไขช่องว่าง
บรรทัด 3:
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''ตัวหารร่วมมาก''' หรือ '''ห.ร.ม.''' ({{lang-en|greatest common divisor}}: gcd) ของ[[จำนวนเต็ม]]สองจำนวนซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่[[หาร]]ทั้งสองจำนวนลงตัว
 
ตัวหารร่วมมากของ ''a'' และ ''b'' เขียนแทนด้วย gcd (''a'', ''b'') หรือบางครั้งเขียนว่า (''a'', ''b'') เช่น gcd (12, 18) = 6, gcd (−4, 14) = 2 และ gcd (5, 0) = 5 จำนวนสองจำนวนจะถูกเรียกว่า ''[[จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์]]'' ถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 เช่น 9 และ 28 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
 
ตัวหารร่วมมากมีประโยชน์ในการทำ[[เศษส่วน]]ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ดังตัวอย่างนี้
บรรทัด 11:
 
== การหา ห.ร.ม. ==
การหาตัวหารร่วมมาก ทำได้ด้วย[[การแยกตัวประกอบ]]ของจำนวนสองจำนวน และเปรียบเทียบตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น gcd (18,84) เราจะแยกตัวประกอบ 18 = 2·3<sup>2</sup> และ 84 = 2<sup>2</sup>·3·7 สังเกตว่านิพจน์ที่"ซ้อน"กันคือ 2·3 ดังนั้น gcd (18,84) = 6 ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้สำหรับจำนวนที่น้อยๆเท่านั้น เพราะการแยกตัวประกอบโดยทั่วไปนั้นจะยาวเกินไป
 
วิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ [[ขั้นตอนวิธีของยุคลิด]]: หาร 84 ด้วย 18 จะได้ผลหารเท่ากับ 4 และเศษเหลือเท่ากับ 12 จากนั้นหาร 18 ด้วย 12 จะได้ผลหารเท่ากับ 1 และเศษเหลือเท่ากับ 6 จากนั้นหาร 12 ด้วย 6 จะได้เศษเหลือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 6 เป็น ห.ร.ม.
บรรทัด 17:
== คุณสมบัติ ==
 
ตัวหารร่วมของ ''a'' และ ''b'' จะเป็นตัวหารของ gcd (''a'', ''b'')
 
gcd (''a'', ''b'') เมื่อ ''a'' และ ''b'' ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะเป็นจำนวนเต็มบวก ''d'' ที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูป ''d'' = ''a''·''p'' + ''b''·''q'' เมื่อ ''p'' และ ''q'' เป็นจำนวนเต็ม จำนวน ''p'' และ ''q'' สามารถคำนวณได้จาก[[ขั้นตอนวิธีของยุคลิดเพิ่มเติม]]
 
ถ้า ''a'' หาร ''b''·''c'' ลงตัว และ gcd (''a'', ''b'') = ''d'' แล้ว ''a''/''d'' หาร ''c'' ลงตัว
 
ถ้า ''m'' เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว gcd (''m''·''a'', ''m''·''b'') = ''m''·gcd (''a'', ''b'') และ gcd (''a'' + ''m''·''b'', ''b'') = gcd (''a'', ''b'') ถ้า ''m'' เป็นตัวหารร่วมของ ''a'' และ ''b'' แล้ว gcd (''a''/''m'', ''b''/''m'') = gcd (''a'', ''b'') /''m''
 
ห.ร.ม.เป็น[[ฟังก์ชันเชิงการคูณ]] กล่าวคือ ถ้า ''a''<sub>1</sub> และ ''a''<sub>2</sub> เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว gcd (''a''<sub>1</sub>·''a''<sub>2</sub>, ''b'') = gcd (''a''<sub>1</sub>, ''b'') ·gcd (''a''<sub>2</sub>, ''b'')
 
ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก gcd (''a'', ''b'', ''c'') = gcd (gcd (''a'', ''b'') , ''c'') = gcd (''a'', gcd (''b'', ''c'')) นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติ[[การเปลี่ยนหมู่]]
 
gcd (''a'', ''b'') นั้นมีความเกี่ยวข้องกับ[[ตัวคูณร่วมน้อย]] lcm (''a'', ''b'') : จะได้ว่า
:gcd (''a'', ''b'') ·lcm (''a'', ''b'') = ''a''·''b''.
สูตรนี้มักถูกใช้เพื่อคำนวณค่าคูณร่วมน้อย โดยเริ่มด้วยการหา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด จากนั้นหารผลคูณของตัวเลขทั้งสองด้วย ห.ร.ม. คุณสมบัติ[[การกระจาย]]ด้านล่างนี้เป็นจริง:
:gcd (''a'', lcm (''b'', ''c'')) = lcm (gcd (''a'', ''b'') , gcd (''a'', ''c''))
:lcm (''a'', gcd (''b'', ''c'')) = gcd (lcm (''a'', ''b'') , lcm (''a'', ''c'')).
 
การนิยามให้ gcd (0, 0) = 0 และ lcm (0, 0) = 0 นั้นมีประโยชน์เนื่องจากจะทำให้เซตของ[[จำนวนธรรมชาติ]]เป็น[[แลตทิซ (อันดับ)|แลตทิซ]]แบบ[[แลตทิซแบบกระจาย|กระจาย]]ที่[[แลตทิซบริบูรณ์|บริบูรณ์]] โดยที่ ห.ร.ม. เป็นการดำเนินการ meet และ ค.ร.น. เป็นการดำเนินการ join การขยายนิยามนี้สอดคล้องกับนัยทั่วไปของนิยามสำหรับริงสลับที่ด้านล่าง
 
ใน[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]] gcd (''a'', ''b'') สามารถตีความว่าเป็นจำนวนของจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มบน[[เส้นตรง]]ที่เชื่อมจุด (0, 0) และจุด (''a'', ''b'') โดยที่ไม่นับจุด (0, 0)
 
== ห.ร.ม. ในริงสลับที่ ==