บทตั้งของซอร์น

บทตั้งของซอร์น (อังกฤษ: Zorn's lemma) หรือ บทตั้งของซอร์น-กูราตอฟสกี เป็นบทตั้งสำคัญบทหนึ่งในวิชาทฤษฎีเซต ซึ่งกล่าวว่า "เซตจัดอันดับบางส่วนที่ทุกโซ่มีขอบเขตบน จะมีสมาชิกใหญ่สุด" บทตั้งนี้มีชื่อตาม มักซ์ ซอร์น และ กาซีมีแยช กูราตอฟสกี

บทตั้งนี้สามารถใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่น ๆ ที่มีความสำคัญในคณิตศาสตร์ในสาขาหลากหลาย เช่น บทพิสูจน์ที่ว่าทุกปริภูมิเวกเตอร์จะมีฐาน ทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคในสาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ทฤษฎีบทของไทโคนอฟในสาขาทอพอโลยี[1] ทฤษฎีบทว่าทุกฟีลด์มีการปิดเชิงพีชคณิต และทฤษฎีบทที่ว่าทุกไอดีลแท้ของริงมีเอกลักษณ์จะเป็นสับเซตของไอดีลใหญ่สุด

บทตั้งของซอร์นสมมูลกันกับหลักการจัดอันดับดีและสัจพจน์ของการเลือก นั่นคือเพียงแค่ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลร่วมกับข้อความใดข้อความหนึ่งจากทั้งข้อความข้างต้น จะสามารถพิสูจน์ข้อความที่เหลือได้ นอกจากนี้ยังมีหลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟเป็นข้อความหนึ่งที่สมมูลกับบทตั้งของซอร์น

ประวัติแก้ไข

เฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟได้พิสูจน์หลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟในปี ค.ศ. 1914 ซึ่งถือว่าเป็นรูปแบบแรก ๆ ของบทตั้งของซอร์น [2]กาซีมีแยช กูราตอฟสกีได้เสนอรูปแบบหนึ่งของบทตั้งนี้ในปี ค.ศ. 1922 ที่ใกล้เคียงกับแบบที่เราใช้ในปัจจุบัน[3] มักซ์ ซอร์นค้นพบบทตั้งนี้อีกครั้งหนึ่งแยกจากของกูราตอฟสกี และตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1935[4]

เนื้อความของบทตั้งแก้ไข

บทตั้งของซอร์น — ถ้าเซตอันดับบางส่วน P มีสมบัติว่าทุกโซ่ใน P มีขอบเขตบนใน P แล้วจะได้ว่าเซต P มีสมาชิกใหญ่สุดอย่างน้อยหนึ่งตัว.

โซ่ใน P คือสับเซตของ P ที่เป็นเซตอันดับทุกส่วน

ข้อความที่สมมูลกันแก้ไข

มีข้อความจำนวนมากที่สมมูลกับบทตั้งของซอร์น ข้อความที่เป็นที่รู้จักกันทั่วไปได้แก่

  1. สัจพจน์การเลือก
  2. หลักการจัดอันดับดี
  3. หลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟ

นอกจากนี้บทตั้งของซอร์นยังใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ บางครั้งผลลัพธ์ดังกล่าวยังสมมูลกับบทตั้งของซอร์นอีกด้วย ได้แก่

  1. ทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค [5]
  2. ทุกปริภูมิเวกเตอร์มีฐาน (ซึ่งสมมูลกับบทตั้งของซอร์น[6])
  3. ทุกริงสลับที่มีหนึ่งจะมีไอดีลใหญ่สุด
  4. ทฤษฎีบทของไทโคนอฟในทอพอโลยี (สมมูลกับบทตั้งของซอร์น[7])
  5. ทฤษฎีบทอุลตราฟิลเตอร์ ที่ว่าทุก ๆ ฟิลเตอร์แท้บทเซต X จะสามารถขยายไปเป็นอุลตราฟิลเตอร์บทเซต X ได้ [8]
  6. จากทฤษฎีบทอุลตราฟิลเตอร์ (นั่นคือจากบทตั้งของซอร์น) จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทความบริบูรณ์ของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งได้ [9]

รายการอ้างอิงแก้ไข

  1. Jänich, Klaus. Topology. Springer-Verlag. p. 167-170.
  2. Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice : Its Origins, Development, and Influence. New York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4613-9480-8.
  3. Kuratowski, Casimir (1922). "Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques". Fundamenta Mathematicae. 3: 76–108. doi:10.4064/fm-3-1-76-108.
  4. Zorn, Max (1935). "A remark on method in transfinite algebra". Bulletin of the American Mathematical Society. 41 (10): 667–670. doi:10.1090/S0002-9904-1935-06166-X.
  5. Brézis, H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York: Springer. p. 1-3. ISBN 978-0-387-70913-0.
  6. Blass, Andreas (1984). "Existence of bases implies the Axiom of Choice". Axiomatic Set Theory. Contemp. Math. Contemporary Mathematics. 31. pp. 31–33. doi:10.1090/conm/031/763890. ISBN 9780821850268.
  7. Kelley, John L. (1950). "The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice". Fundamenta Mathematicae. 37: 75–76. doi:10.4064/fm-37-1-75-76.
  8. "Ultrafilter theorem". nLab. สืบค้นเมื่อ 7 February 2021.
  9. J.L. Bell & A.B. Slomson (1969). Models and Ultraproducts. North Holland Publishing Company.

ดูเพิ่มแก้ไข