ในเลขคณิตมูลฐาน ตัวทด หรือ เลขทด คือตัวเลขที่ถูกส่งมาจากตัวเลขหลักหนึ่ง ไปยังตัวเลขหลักอื่นที่มีนัยสำคัญมากกว่า ในระหว่างขั้นตอนวิธีของการคำนวณ การกระทำที่ให้เกิดตัวทดเรียกว่า การทด ตัวทดเป็นสิ่งที่ช่วยคำนวณคณิตศาสตร์มาแต่ดั้งเดิม เพื่อเน้นให้เห็นถึงวิธีการหาคำตอบที่ถูกต้อง เมื่อคำนวณจนชำนาญแล้วตัวทดก็มักจะถูกละเลยไปเพราะสามารถคิดได้ในใจ และตัวทดก็ไม่ได้ปรากฏเป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์

การคำนวณด้วยมือแก้ไข

 
ตัวอย่าง: ผลบวกของเลขทศนิยมสองจุด

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงการทด จากการบวก

  ¹
  27
+ 59
----
  86

เนื่องจาก 7 + 9 = 16 ไม่สามารถใส่ตัวเลขทั้งสองได้ในหลักหน่วย ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวทดจากหลักหน่วยไปยังหลักสิบ

สิ่งที่ตรงข้ามกับตัวทดก็คือ ตัวยืม การยืมมักปรากฏในการลบ

  −1
  47
− 19
----
  28

เนื่องจาก 7 ลบ 9 ไม่ได้ (7 น้อยเกินไป) จึงเกิด การยืม 1 จากหลักสิบสู่หลักหน่วย ทำให้จำนวนสิบไปบวกเพิ่มให้กับหลักเลขทางขวาเป็น 17 ทำให้ 17 − 9 = 8 มีสองแนวทางที่อธิบายแนวคิดนี้

  1. จำนวนสิบถูก ย้าย ออกจากหลักเลขทางซ้าย ทำให้เหลือเลขในหลักสิบเพียง 3 − 1 = 2 ด้วยแนวคิดนี้ "ตัวยืม" จึงอาจเป็นการตั้งชื่อผิดเพราะยืมแล้วไม่ได้จำนวนสิบกลับคืน
  2. จำนวนสิบถูก สำเนา ออกจากหลักเลขทางซ้าย จากนั้นบวกเข้าสู่ตัวลบในหลักที่มันถูกยืมมา ทำให้เลขในหลักสิบเป็น 4 − (1 + 1) = 2

การศึกษาในโรงเรียนแก้ไข

การสอนคณิตศาสตร์แต่เดิมใช้ตัวทดกับการบวกและการคูณกับเลขหลายหลัก โดยเริ่มสอนตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาตอนต้น อย่างไรก็ตามตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 20 เป็นต้นมา สถาบันการศึกษาหลายแห่งก็คิดค้นหลักสูตรการคำนวณคณิตศาสตร์ด้วยวิธีใหม่ขึ้นมา เช่นหลักสูตร TERC ในสหรัฐอเมริกา ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้ตัวทดแบบดั้งเดิม รวมทั้งมีการใช้สี การจัดวาง และแผนภูมิช่วยในการคำนวณ

คณิตศาสตร์ขั้นสูงแก้ไข

ทฤษฎีบทของคุมเมอร์ (Kummer's theorem) กล่าวว่า ตัวทดเกิดจากการเพิ่มตัวเลขสองตัวในฐาน  เท่ากับกำลังสูงสุดของ  หารสัมประสิทธิ์ทวินาม

เมื่อมีการเพิ่มจำนวนสุ่ม สถิติของตัวทดจะมีความสัมพันธ์กับอย่างไม่คาดคิดกับตัวเลขออยเลอร์และสถิติการเรียงสับเปลี่ยนริฟเฟิล (riffle shuffle permutation)[1][2][3][4]

ในพีชคณิตนามธรรม ระบบตัวทดของจำนวนทศนิยมสองจุดสามารถแสดงผ่านภาษาของกลุ่มฮอมอโลยีร่วม (group cohomology)[5][6][7] มุมมองนี้สามารถนำมาใช้ผ่านการแปลงเป็นจำนวนจริง[8][9]

คอมพิวเตอร์แก้ไข

เมื่อพูดถึงวงจรดิจิทัลเช่นวงจรบวก คำว่า ตัวทด จึงมีความหมายคล้ายกับเลขคณิต ในคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ ตัวทดจากบิตที่มีนัยสำคัญมากที่สุดซึ่งได้มาจากการดำเนินการทางเลขคณิตบางอย่าง หรือบิตที่ถูกเลื่อน (shift) ออกไปจากหน่วยความจำหลังจากการดำเนินการเลื่อน จะถูกเก็บไว้ในบิตพิเศษเรียกว่า บิตทด (carry bit) ซึ่งสามารถใช้เป็นตัวรับการทดสำหรับการคำนวณเลขคณิตแบบแม่นยำ หรือใช้ทดสอบการทำงานของโปรแกรมคอมพิวเตอร์

ดูเพิ่มแก้ไข

อ้างอิงแก้ไข

  1. Holte, John M. (February 1997), "Carries, Combinatorics, and an Amazing Matrix", The American Mathematical Monthly, 104 (2): 138–149, doi:10.2307/2974981, JSTOR 2974981
  2. Diaconis, Persi; Fulman, Jason (August 2009), "Carries, shuffling, and symmetric functions", Advances in Applied Mathematics, 43 (2): 176–196, arXiv:0902.0179, doi:10.1016/j.aam.2009.02.002
  3. Borodin, Alexei; Diaconis, Persi; Fulman, Jason (October 2010), "On adding a list of numbers (and other one-dependent determinantal processes)", Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (4): 639–670, arXiv:0904.3740, doi:10.1090/S0273-0979-2010-01306-9
  4. Nakano, Fumihiko; Sadahiro, Taizo (February 2014), "A generalization of carries processes and Eulerian numbers", Advances in Applied Mathematics, 53: 28–43, doi:10.1016/j.aam.2013.09.005
  5. Hegland, M.; Wheeler, W. W. (January 1997), "Linear Bijections and the Fast Fourier Transform", Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, 8 (2): 143–163, doi:10.1007/s002000050059
  6. Isaksen, Daniel C. (November 2002), "A Cohomological Viewpoint on Elementary School Arithmetic" (PDF), The American Mathematical Monthly, 109 (9): 796–805, doi:10.2307/3072368, JSTOR 3072368, คลังข้อมูลเก่า เก็บจาก แหล่งเดิม (PDF) เมื่อ January 16, 2014, สืบค้นเมื่อ January 22, 2014
  7. Borovik, Alexandre V. (2010), Mathematics under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, AMS, pp. 87–88, ISBN 978-0-8218-4761-9
  8. Metropolis, N.; Gian-Carlo, Rota; Tanny, S. (May 1973), "Significance Arithmetic: The Carrying Algorithm", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 14 (3): 386–421, doi:10.1016/0097-3165(73)90013-7
  9. Faltin, F.; Metropolis, N.; Ross, B.; Rota, G.-C. (June 1975), "The Real Numbers as a Wreath Product", Advances in Mathematics, 16 (3): 278–304, doi:10.1016/0001-8708(75)90115-2

แหล่งข้อมูลอื่นแก้ไข