ตัวดึงดูดลอเรนซ์

ตัวดึงดูดลอเรนซ์ (Lorenz attractor) คิดขึ้นโดย เอ็ดเวิร์ด ลอเรนซ์ (Edward Lorenz) ในปี ค.ศ. 1963 เป็นระบบพลวัตไม่เป็นเชิงเส้น 3 มิติ โดยเป็นแบบจำลองในรูปอย่างง่ายของ การพัดพาความร้อนในบรรยากาศ ระบบนี้จะแสดงพฤติกรรมความอลวนที่ค่าพารามิเตอร์บางค่า รวมถึงลักษณของระบบที่เรียกว่า ตัวดึงดูดประหลาด (strange attractor) ซึ่งพิสูจน์โดย ทัคเกอร์ (W. Tucker) ในปี ค.ศ. 2001 ตัวดึงดูดประหลาดในที่นี้เป็น แฟร็กทัล ที่มีค่ามิติฮอสดอร์ฟ (Hausdorff dimension) อยู่ระหว่าง 2 ถึง 3 กราสเบอร์เกอร์ (Grassberger) ได้ประมาณค่ามิติฮอสดอร์ฟว่ามีค่าประมาณ 2.06 ± 0.01 และ ค่ามิติโครีเลชัน(correlation dimension) ประมาณ 2.05 ± 0.01

รูปวงโคจรของระบบลอเรนซ์ ที่ค่าพารามิเตอร์ r=28, σ = 10, b = 8/3

ระบบที่มีปรากฏพฤติกรรมตามแบบจำลองลอเรนซ์นี้คือ เลเซอร์, ไดนาโม และกังหันน้ำบางชนิด [1]

ตัวดึงดูดลอเรนซ์ เขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังต่อไปนี้ :

${\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)$

${\frac {dy}{dt}}=x(r-z)-y$

${\frac {dz}{dt}}=xy-bz$

โดยที่ $\sigma$ เรียกว่า ตัวเลขแพรนด์เทิล (Prandtl number) และ r เรียกว่า ตัวเลขเรย์โนลด์ (Reynolds number) $\sigma ,r,b>0$ แต่ปกติแล้วจะมีค่า $\sigma =10$, $b=8/3$ และ r เป็นค่าที่ปรับได้ ระบบจะแสดงพฤติกรรมความอลวนที่ค่า r = 28 แต่แสดงพฤติกรรมโคจรพันกันเป็นวงรอบ ที่ค่า r อื่นๆ ตัวอย่างเช่น ที่ค่า r = 99.96 วงโคจรจะเป็นรูป T(3,2) เงื่อนทอรัส(torus knot)

รูปร่างของตัวดึงดูดลอเรนซ์ที่คล้ายผีเสื้อนี้ เป็นส่วนหนึ่งของจุดกำเนิดของคำ ปรากฏการณ์ผลกระทบของผีเสื้อ (butterfly effect) ในทฤษฎีความโกลาหล (chaos theory)