ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว

สำหรับสถิติศาสตร์แล้ว ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (อังกฤษ: covariance) เป็นการวัดปริมาณการเปลี่ยนแปลงของสองตัวแปรว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงตามกันมาน้อยเท่าใด ความแปรปรวน (variance) เป็นกรณีพิเศษของความแปรปรวนร่วมเกี่ยวโดยที่สองตัวแปรที่พิจารณาคือตัวแปรตัวแปรเดียวกัน

นิยาม

ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวตัวแปรเดี่ยว

นิยามความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างสองตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมกัน $X$ และ $Y$ ที่สามารถนิยามโมเมนต์ที่ 2 ได้ (second moment) คือ

\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}

โดย $\operatorname {E} (X)$ คือ ค่าคาดหมาย (expected value) ของ $X$ ทั้งนี้ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวสามารถเขียนแทนด้วย $\sigma _{XY}$ หรือ $\sigma (X,Y)$ ได้เช่นกัน

จากนิยามข้างต้นของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว สามารถเขียนในรูปใหม่ได้โดยใช้คุณสมบัติของค่าคาดหมายและคุณสมบัติการคูณ ดังนี้

${\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} \left[X\right]\right)\left(Y-\operatorname {E} \left[Y\right]\right)\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY-X\operatorname {E} \left[Y\right]-\operatorname {E} \left[X\right]Y+\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]+\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]\end{aligned}}$

ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวหลายตัวแปร

สำหรับเวกเตอร์สุ่ม $X$ และ $Y$ ที่มีขนาดไม่เท่ากัน โดย $X$ มีขนาด $m\times 1$ และ $Y$ มีขนาด $n\times 1$ แล้ว เมตริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวของ $X$ และ $Y$ จะเป็นเมตริกซ์ขนาด $m\times n$ ที่เท่ากับ

\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])'{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}XY'{\big ]}-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]'

โดยสัญลักษณ์ $'$ บน Matrix เช่น $M'$ หมายถึง เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ $M$

สมาชิกแถว $i$ หลัก $j$ ของ $\operatorname {cov} (X,Y)$ จะเท่ากับค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยว $\operatorname {cov} (X_{i},Y_{i})$ ระหว่างสมาชิกที่ $i$ ของ $X$ และสมาชิกที่ $j$ ของ $Y$