การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย

การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย (อังกฤษ: Signed number representations) เป็นวิธีการแทนจำนวนที่อาจติดลบได้ในหน่วยความจำ เพื่อให้สะดวกต่อการนำมาดำเนินการต่าง ๆ และมีประสิทธิภาพ วิธีการโดยทั่วไปคือแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วน โดยในส่วนแรกนั้นจะเป็นส่วนที่เรียกว่า Magnitude หรือค่าขนาดของบิตตัวเลข มีตำแหน่งอยู่ที่สามนับจากขวา และส่วนที่สองจะเรียกว่า Signed Bit หรือค่าขนาดหนึ่งบิตแทนเครื่องหมายบวกหรือลบ หรือเรียกสั้นๆ ว่าบิตเครื่องหมาย โดยที่บิตเครื่องหมายนี้จะมีค่าเป็นบิตสูงสุด มีตำแหน่งอยู่หน้าสุด ดังนั้นในตัวเลขดิจิทัลหนึ่งตัวสามารถที่จะแทนได้ทั้งค่าบวก และค่าลบ ซึ่งถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 0 ค่าของบิตสูงสุดจะมีค่าเป็นบวก แต่ถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 1 ค่าของบิตสูงสุดจะมีค่าเป็นลบ ไม่ว่าบิตเครื่องหมายจะเป็น 0 หรือ 1 ก็ตามค่าขนาดของบิตจะเหมือนเดิม ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

• +12 = 0000 1100
• -12 = 1000 1100

ตัวอย่างที่ 2

• +20 = 0001 0100
• -20 = 1001 0100

จากตัวอย่างจะเป็นการแทนค่าตัวเลขดิจิทัลแบบ Sign-Magnitude System หลังจากที่ได้ดูตัวอย่างแล้วจะพบว่าความแตกต่างระหว่างบวกและลบ เช่น +12 และ -12 จะแตกต่างกันเพียงค่าของบิตเครื่องหมายเท่านั้น ส่วนค่าขนาดของบิตจะมีค่าเท่ากัน ถึงแม้ว่าระบบเลขดิจิทัลแบบนี้จะสามารถแทนค่าบวกและค่าลบได้ แต่ในการคำนวณของเครื่องคิดเลขจะไม่สามารถใช้คำนวณระบบนี้ได้

ส่วนเติมเต็มหนึ่ง

ส่วนเติมเต็มหนึ่ง (1’s Complement) เป็นการเปลี่ยนค่าสถานะของบิตเครื่องหมาย คือถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 1 ให้เปลี่ยนเป็น 0 และถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 0 ให้เปลี่ยนเป็น 1 โดยที่จะทำการเปลี่ยนสถานะทุกบิตกลับกันทั้งหมด ตามตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

• +12 = 0000 1100
• -12 = 1111 0011 (ส่วนเติมเต็มหนึ่ง)

ตัวอย่างที่ 2

• +18 = 0001 0010
• -18 = 1110 1101 (ส่วนเติมเต็มหนึ่ง)

ส่วนเติมเต็มสอง

ส่วนเติมเต็มสอง (2’s Complement System) เป็นเหมือนกับส่วนเติมเต็มหนึ่ง แต่หลังจากได้ผลลัพธ์มาแล้วให้บวกค่าเพิ่มเข้าไปอีก 1 การทำเช่นนี้เป็นการปรับปรุงเพิ่มเติมต่อจากส่วนเติมเต็มหนึ่งเพื่อให้มีค่า 0 เพียงแค่ค่าเดียว และทำให้ไม่ต้องเพิ่มค่าบิตที่ล้นกลับเข้าไปเหมือนที่ต้องทำในการทำส่วนเติมเต็มหนึ่ง ระบบส่วนเติมเต็มสองสามารถทำได้โดยถ้าเป็นเลขบวกไม่ต้องเปลี่ยนค่าสถานะของบิตเครื่องหมาย แต่ถ้าเป็นเลขลบ ให้ทำการกลับค่าโดยการทำส่วนเติมเต็มหนึ่งทุกบิต และบวก 1 เสมอตามตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

• +12 = 0000 1100
• -12 = 1111 0011 (ส่วนเติมเต็มหนึ่ง)
• 1111 0011 + 1
  • -12 = 1111 0100 (ส่วนเติมเต็มสอง)

ตัวอย่างที่ 2

• +16 = 0001 0000
• -16 = 1110 1111 (ส่วนเติมเต็มหนึ่ง)
• 1110 1111 + 1
  • -16 = 1111 0000 (ส่วนเติมเต็มสอง)

ตารางเปรียบเทียบ

ตารางต่อไปนี้แสดงจำนวนเต็มบวกและลบที่สามารถแทนได้ในระบบ 4 บิตแบบต่าง ๆ

การแทนจำนวนเต็ม 4 บิต

ฐานสิบ	ไม่มีเครื่องหมาย	เครื่องหมายกับขนาด	ส่วนเติมเต็มหนึ่ง	ส่วนเติมเต็มสอง	เอกซ์เซสส์-7 (ตั้งจุด)	ฐานลบสอง
+16	—	—	—	—	—	—
+15	1111	—	—	—	—	—
+14	1110	—	—	—	—	—
+13	1101	—	—	—	—	—
+12	1100	—	—	—	—	—
+11	1011	—	—	—	—	—
+10	1010	—	—	—	—	—
+9	1001	—	—	—	—	—
+8	1000	—	—	—	1111	—
+7	0111	0111	0111	0111	1110	—
+6	0110	0110	0110	0110	1101	—
+5	0101	0101	0101	0101	1100	0101
+4	0100	0100	0100	0100	1011	0100
+3	0011	0011	0011	0011	1010	0111
+2	0010	0010	0010	0010	1001	0110
+1	0001	0001	0001	0001	1000	0001
+0	0000	0000	0000	0000	0111	0000
−0		1000	1111
−1	—	1001	1110	1111	0110	0011
−2	—	1010	1101	1110	0101	0010
−3	—	1011	1100	1101	0100	1101
−4	—	1100	1011	1100	0011	1100
−5	—	1101	1010	1011	0010	1111
−6	—	1110	1001	1010	0001	1110
−7	—	1111	1000	1001	0000	1001
−8	—	—	—	1000	—	1000
−9	—	—	—	—	—	1011
−10	—	—	—	—	—	1010
−11	—	—	—	—	—	—