การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (อังกฤษ: Projectile motion)

วิถีการเคลื่อนที่ของน้ำแบบพาราโบลา

ส่วนประกอบของความเร็วต้นของการโยนแบบพาราโบลา

วิถีของโพรเจกไทล์ที่ลอยขึ้นไปในอากาศในความเร็วต้นที่แตกต่างกัน(พิจารณาแรงต้านอากาศ)

ความเร็วเริ่มต้น

เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้

$\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {i} +v_{0y}\mathbf {j}$

องค์ประกอบ $v_{0x}$ และ $v_{0y}$ สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น $\theta$ ดังนี้

$v_{0x}=v_{0}\cos \theta$ และ

$v_{0y}=v_{0}\sin \theta$

ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน

ความเร่ง

สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ $\mathbf {v} _{0}\cos \theta$ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว $g$ องค์ประกอบของความเร่งคือ

$a_{x}=0$ และ

$a_{y}=-g$

ความเร็ว

องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา $t$ ได้ดังนี้

$v_{x}=v_{0}\cos(\theta )$ และ

$v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt$

ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\ }}$

การกระจัด

การกระจัดและพิกัดของการโยนแบบพาราโพลา

ณ เวลา $t$ ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ

$x=v_{0}t\cos(\theta )$ และ

$y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

ขนาดของการกระจัดคือ

$\Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}\ }}$

พิจารณาสมการ

$x=v_{0}t\cos(\theta )$ และ

$y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

ถ้า $t$ ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้

$y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}$

เมื่อ $g$ $\theta$ และ $v_{0}$ เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป

$y=ax+bx^{2}$

ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง ($\theta$ หรือ $r$) ความเร็วเริ่มตั้น $v_{0}$ สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น

$v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}$

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่

เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ

$y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น $y=0$

$0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt$

$t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}$

ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง $y_{0}$ เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ

$t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}$

สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น

$t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}{g}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{g}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{g}}$

ถ้า $\theta$ = 0 และ $y_{0}$ = 0

ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่

ความสูงที่สูงที่สุดของโพรเจกไทล์

จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง $v_{y}=0$ นั้นคือ

$0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}$

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด

$t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{g}}$

จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

$h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}$

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด

ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ $R$ กับระยะสูงสุด $h$ ที่ ${\frac {t_{d}}{2}}$ เป็น

$h={\frac {R\tan \theta }{4}}$

พิสูจน์

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}$

$R={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}$

${\frac {h}{R}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}$ × ${\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}$

${\frac {h}{R}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}$

$h={\frac {R\tan \theta }{4}}$.

พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

บทความหลัก: พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ระยะทางที่ไกลที่สูงของโพรเจกไทล์

ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า"พิสัย" $d$ คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น $(y=0)$

$0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}$

เวลาเมื่อตกถึงพื้น

$t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}$

จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น

$d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )$

ดังนั้น

$d={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )$

$d$ จะมีค่าสูงสุดเมื่อ

$\sin 2\theta =1$

ซึ่งสอดคล้องกับ

$2\theta =90^{\circ }$

หรือ

$\theta =45^{\circ }$

Trajectories of projectiles launched at different elevation angles but the same speed of 10 m/s in a vacuum and uniform downward gravity field of 10 m/s². Points are at 0.05 s intervals and length of their tails is linearly proportional to their speed. t = time from launch, T = time of flight, R = range and H = highest point of trajectory (indicated with arrows).

ระยะทางในแนวราบ $d$ ที่เคลื่อนที่ได้

$d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)$

เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น ($y_{0}=0$)) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้

$d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}$

ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ $\theta$ มีค่าเท่ากับ 45 องศา

$d={\frac {v^{2}}{g}}$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน

ตามทฤษฎีงานและพลังงาน องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ

$v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy$

สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ