การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ในวิชากลศาสตร์และฟิสิกส์ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (อังกฤษ: simple harmonic motion : SHM) หมายถึง การเคลื่อนที่โดยที่วัตถุจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเดิมกลับมาเริ่มต้นที่เดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก ผ่านจุดสมดุล เป็นการเคลื่อนที่เป็นคาบประเภทหนึ่ง โดยที่แรงดึงกลับแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศทางตรงข้ามกับการกระจัด

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่หลายอย่าง เช่น การสั่นของสปริง นอกจากนี้ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายยังประมาณปรากฏการณ์อื่นได้ ซึ่งรวมการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย ตลอดจนการสั่นของโมเลกุล การเคลื่อนที่ของมวลบนสปริงเมื่ออยู่ภายใต้แรงดึงกลับยืดหยุ่นเชิงเส้นตามกฎของฮุกเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การเคลื่อนที่นี้มีความถี่พ้องเดียว ในการเกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย แรงลัพธ์ของวัตถุที่ปลายลูกตุ้มต้องเท่ากับการกระจัด

ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

1. แอมพลิจูด (Amplitude) คือ การกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่วัดจากจุดสมดุลไปยังจุดปลาย หรือบางครั้งเรียกว่า ช่วงกว้างของคลื่น
2. คาบ (Period) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ นับจากจุดปลายด้านหนึ่งไปยังจุดปลายอีกด้านหนึ่ง แล้วเคลื่อนที่กลับมายังจุดปลายเดิม โดยมีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ วินาที
3. ความถี่ (Frequency) คือ จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น รอบ / วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
4. การกระจัด (Displacement) คือ ระยะทางการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่โดยนับจากจุดสมดุล
5. ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนแปลงไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น เรเดียน / วินาที หรือ rad/s

พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ในกลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว ซึงหาได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันและกฎของฮุกสำหรับมวลติดสปริง

$F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx$

เมื่อ m คือมวลของวัตถุที่มีการสั่น x คือการกระจัดจากตำแหน่งสมดุล และ k คือค่าคงตัวหรือค่านิจของสปริง (สำหรับมวลติดสปริง)

ดังนั้น

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x$

ผลเฉลยของสมการอนุพันธ์นี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ (sinusoidal function)

$x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)$

สามารถเขียนให้อยู่ในรูป

$x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)$

เมื่อ

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},\qquad A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$

จากผลเฉลยข้างต้น c₁ และ c₂ คือค่าคงตัวซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น และกำหนดให้จุดกำเนิดอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล A คือแอมพลิจูด ω = 2πf คือ ความถี่เชิงมุม และ φ คือเฟสเริ่มต้น

ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีค่าเท่ากับ

$v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )$

ความเร็ว:

${\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$

ความเร็วสูงสุด: v=ωA (ที่จุดสมดุล)

$a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )$

ความเร่งสูงสุด: Aω² (ที่จุดปลาย)

จากนิยามความเร่งและการกระจัด ถ้ามวล m เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ความเร่งของมวลนั้นจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัด

$a(x)=-\omega ^{2}x$

เมื่อ

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

เนื่องจาก ω = 2πf

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},$

และเนื่องจาก T = 1/f เมื่อ T คือคาบ จะได้ว่า

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.$

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของการเคลื่อนที่

พลังงาน

แทนค่า ω² ด้วย k/m พลังงานจลน์ K ของระบบที่เวลา t มีค่าเท่ากับ

$K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),$

และพลังงานศักย์ของระบบมีค่าเท่ากับ

$U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).$

เมื่อไม่มีแรงเสียดทานและไม่มีการสูญเสียพลังงาน ผลรวมของพลังงานกล (mechanical energy) จะมีค่าคงตัว

$E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}$

ตัวอย่าง

ระบบสปริง–มวลที่ไม่หน่วงมีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ระบบทางฟิสิกส์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

มวลติดสปริง

มวล m ก้อนหนึ่งติดอยู่กับสปริงที่มีค่าคงที่ของสปริง k อธิบายการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในปริภูมิปิด

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

สมการข้างบนนี้แสดงให้เห็นว่าคาบของการแกว่ง T ไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สมการข้างบนนี้ยังคงใช้ได้เมื่อมีแรงคงที่กระทำต่อมวล กล่าวคือ แรงคงที่ที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ทำให้คาบของการแกว่งเปลี่ยนไป

อ้างอิง

• Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley. ISBN 0-470-56158-0.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
• John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
• Grant R. Fowles; George L. Cassiday (2005). Analytical Mechanics (7th ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.