การหมุนควงลาร์เมอร์

การหมุนควงลาร์เมอร์ (Larmor precession) เป็นการหมุนควงของเวกเตอร์โมเมนต์แม่เหล็กรอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอก พบได้ในอิเล็กตรอน มิวออน และอะตอม จากทฤษฎี เมื่อมีสนามแม่เหล็กจากภายนอกมากระทำกับโมเมนต์แม่เหล็ก จะทำให้เกิดทอร์ก

ทิศทางการหมุนควงรอบแกนของอนุภาคที่มีประจุเป็นลบ

${\vec {\Gamma }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}}$

โดยที่ ${\vec {\Gamma }}$ แทนทอร์ก ${\vec {\mu }}$ แทนโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก ${\vec {J}}$ แทนโมเมนตัมเชิงมุม ${\vec {B}}$ แทนสนามแม่เหล็กภายนอก และ $\ \gamma$ แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติกซึ่งเป็นอัตราส่วนที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนต์แม่เหล็ก

ความถี่ลาร์เมอร์

เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม ${\vec {J}}$ จะหมุนควง (คือ มีจุดหนึ่งยันกับแกนอ้างอิง ที่เหลือหมุนไปรอบ ๆ ในลักษณะกวาดเป็นรูปทรงกรวย) รอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอกด้วยความถี่เชิงมุมค่าหนึ่ง เรียกความถี่นี้ว่าความถี่ลาร์เมอร์ (Larmor frequency) ความถี่ลาร์เมอร์กำหนดตามสมการ

$\omega =-\gamma B$

หรือ

$\omega ={\frac {egB}{2m}}$

โดยที่ $\omega$ แทนความถี่ลาร์เมอร์ $\gamma =-{\frac {eg}{2m}}$ แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติก อัตราส่วนใจโรแมกเนติกคำนวณจากตัวแปรต่อไปนี้คือ $m$ แทนมวล $-e$ แทนประจุมูลฐาน $B$ แทนขนาดของสนามแม่เหล็ก และ $g$ เป็นตัวประกอบจี ซึ่งปกติอยู่ที่ 1 สำหรับอนุภาคเดี่ยว แต่จะเป็นค่าอื่นเมื่ออนุภาครวมตัวเป็นนิวเคลียส ค่าจีไม่สามารถคำนวณได้โดยตรง แต่สามารถวัดได้ ซึ่งสมบัติในข้อนี้เป็นส่วนสำคัญของสเปกโทรสโคปีด้วยวิธีการสั่นพ้องของนิวเคลียสโดยใช้สนามแม่เหล็ก (NMR spectroscopy)

การหมุนควงลาร์เมอร์แบบซับซ้อน

สมการข้างต้นเป็นสมการความถี่ของการหมุนควงลาร์เมอร์แบบที่ใช้โดยทั่วไป ซึ่งยังไม่ได้คิดการหมุนควงโทมัส (Thomas precession) ซึ่งกำหนดตามสมการ

$\omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}$

โดยที่ $\gamma$ เป็นตัวประกอบลอเรนซ์ (Lorentz factor) ซึ่งเป็นค่าที่คำนวณในสัมพัทธภาพพิเศษ Lorentz factor (ระวังสับสนกับอัตราส่วนไจโรแมกเนติก) มีข้อสังเกตอย่างหนึ่งคือ ถ้าค่า g = 2 แล้วความถี่ของการหมุนควงจะได้เป็น

$\omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}$

สมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ

การหมุนควงลาร์เมอร์ของอิเล็กตรอนโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจากภายนอก อธิบายได้ตามสมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ หรือสมการบีเอ็มที (Bargmann–Michel–Telegdi equation; BMT equation) ซึ่งเขียนได้ว่า

${\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },$

โดยที่ $a^{\tau }$, $e$, $m$, and $\mu$ แทนเวกเตอร์สี่มิติแทนโพลาไรเซชัน, ประจุ, มวล และโมเมนต์แม่เหล็ก $u^{\tau }$ เป็นความเร็วสี่มิติของอิเล็กตรอน $a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1$, $u^{\tau }a_{\tau }=0$, และ $F^{\tau \sigma }$ แทนเทนเซอร์ขนาดของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ต่อไป จากสมการการเคลื่อนที่

$m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },$

ทำให้ได้ว่า พจน์แรกของด้านขวาสมการบีเอ็มที สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $(-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }$โดยที่ $w^{\tau }=du^{\tau }/ds$ เป็นเวกเตอร์สี่มิติของความเร่ง อนึ่ง พจน์แรกด้านขวาสมการบีเอ็มที แสดงถึงปรากฎการณ์ขนส่งแฟร์มี-วอล์กเกอร์ (Fermi–Walker transport) ซึ่งทำให้เกิดการหมุนควงโทมัส ส่วนพจน์ที่สองแสดงถึงการหมุนควงลาร์เมอร์

หากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นแบบสม่ำเสมอ (ขนาดเท่ากัน ทิศทางเดียวกันตลอด) หรือในกรณีที่ต้องการไม่คิดถึงผลของแรงจากความต่างศักย์ $\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})$ การเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งของอนุภาคสามารถอธิบายได้โดยสมการ

${du^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.$

จากนั้น สมการบีเอ็มทีสามารถเขียนได้เป็น

${\;\,dS^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }\right){\bigg ]}\;,$

การประยุกต์ใช้

เลฟ ลันเดา และเอฟเกนี ลิฟชิตซ์ (Evgeny Lifshitz) ได้พยากรณ์การค้นพบการหมุนควงลาร์เมอร์ในสารเฟอร์โรแมกเนติก เมื่อปี พ.ศ. 2478 ซึ่ง 11 ปีต่อมาได้มีการทดลองเพื่อพิสูจน์ยืนยันข้อความดังกล่าว

ความถี่ลาร์มอร์เป็นสมบัติของนิวเคลียสซึ่งใช้ในการศึกษาการสร้างภาพด้วยการสั่นพ้องผ่านสนามแม่เหล็ก อิเล็กตรอนพาราแมกเนติกเรโซแนนซ์ และมิวออนสปินสเปกโทรสโคปี

แหล่งข้อมูลอื่น

• Georgia State University HyperPhysics page on Larmor Frequency
• Larmor Frequency Calculator
• here รายการไอโซโทปที่พบในการสั่นพ้องนิวเคลียสโดยใช้แม่เหล็ก เก็บถาวร 2018-02-01 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน