ไพรมอเรียล (อังกฤษ: primorial) เป็นคำที่รวมกันระหว่างจำนวนเฉพาะ (prime) กับแฟกทอเรียล (factorial) ตั้งโดย ฮาร์วีย์ ดับเนอร์ (Harvey Dubner) มีความหมายสองแบบ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

ฟังก์ชันไพรมอเรียลถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นข้อพิสูจน์ให้กับทฤษฎีบทของยุคลิด ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์

ความหมายที่หนึ่ง แก้

 
กราฟของ f (n) = pn# ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล pn# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ n ตัวแรก [1][2] นั่นคือ

 

เมื่อ pk คือจำนวนเฉพาะตัวที่ k

ตัวอย่างเช่น p5# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ 5 ตัวแรก

 

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล pn# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 30, 210, 2310, ... (ลำดับ  A002110)

ลำดับดังกล่าวรวมถึง p0# = 1 ซึ่งเป็นผลคูณว่างด้วย

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

 

เมื่อ exp คือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ex และ o คือสัญกรณ์โอเล็ก (ดูเพิ่มในสัญกรณ์โอใหญ่) [2]

ลอการิทึมธรรมชาติของไพรมอเรียลคือฟังก์ชันเชบีเชฟที่หนึ่ง (the first Chebyshev function) เขียนแทนด้วย ϑ (n) หรือ θ (n) ซึ่ง n จะเข้าใกล้เชิงเส้นเมื่อ n มีค่ามากๆ [3]

ความหมายที่สอง แก้

 
กราฟของฟังก์ชัน f (n) = n# (จุดสีแดง) เปรียบเทียบกับ n! ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล n# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า n เมื่อ n ≥ 1 [1][4] นิยามโดย

 

ซึ่งมีความหมายเทียบเท่ากับ [4]

 

เมื่อ π (n) คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (ลำดับ  A000720) โดยให้จำนวนของจำนวนเฉพาะไม่มากกว่า n

ตัวอย่างเช่น 7# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า 7 นั่นคือ

 

และเนื่องจาก π (7) = 4 ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้อีกวิธีเป็น

 

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล n# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, ...

จะเห็นว่าไพรมอเรียล n# ซึ่ง n เป็นจำนวนประกอบ จะซ้ำกับจำนวนที่อยู่ก่อนหน้าคือ (n − 1)# ตามที่ได้กำหนดไว้ในนิยาม

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

 

ตารางค่าไพรมอเรียล แก้

n n# pn pn#
0 ไม่นิยาม ไม่มีจำนวนเฉพาะ 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

อ้างอิง แก้

  • Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.