แคลคูลัสกับพหุนาม
แคลคูลัสกับพหุนาม ในคณิตศาสตร์ พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้
ดังนั้นอนุพันธ์ของ ก็คือ และปริพันธ์ของ คือ
บทพิสูจน์ แก้
เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้
ดังนั้นจะต้องหา สำหรับ จำนวนธรรมชาติ ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ เท่านั้น
นัยทั่วไป แก้
เป็นจริงทุกค่า k ที่ xk มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ xk มีการนิยามไว้
นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน
ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน
พิสูจน์โดย ทฤษฎีบททวินาม (จำนวนธรรมชาติ) แก้
อ้างอิง แก้
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.