เมทริกซ์แลกเปลี่ยน

เมทริกซ์แลกเปลี่ยน (exchange matrix) คือเมทริกซ์จัตุรัสที่ประกอบด้วยสมาชิกบนเส้นทแยงมุมรองเป็น 1 และสมาชิกอื่นเป็น 0 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์แลกเปลี่ยนมีลักษณะคล้ายเมทริกซ์เอกลักษณ์ แต่การเรียงตัวของเลข 1 กลับทิศทางกัน (จากมุมล่างซ้ายไปยังมุมบนขวา ↗) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $J_{n}$ หรือเพียงแค่ $J$ (เจ) ตัวอย่างเมทริกซ์แลกเปลี่ยนเช่น

$J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ J_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\ J_{3}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ J_{n}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

นิยามทั่วไปของเมทริกซ์แลกเปลี่ยนประกอบด้วยนิยามดังนี้

$J_{i,j}={\begin{cases}1,&j=n-i\\0,&j\neq n-i\\\end{cases}}$

ซึ่ง J เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n

คุณสมบัติ

• $J^{\mathrm {T} }=J\,\!$
• $J^{n}=I\,\!$ เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ และ $J^{n}=J\,\!$ เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
  • ดังนั้นเมทริกซ์แลกเปลี่ยนจึงเป็นเมทริกซ์อาวัตนาการ (involutory matrix) ชนิดหนึ่ง เพราะว่า $J^{-1}=J\,\!$
• รอยเมทริกซ์ (trace) ของ J มีค่าเท่ากับ 0 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ และเป็น 1 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
• เมทริกซ์ A ใดๆ ที่ทำให้เงื่อนไข $AJ=JA\,\!$ เป็นจริง เมทริกซ์ A นั้นจะเป็นเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง (centrosymmetric matrix)