เกรแฮมสแกน

เกรแฮมสแกน (อังกฤษ:Graham Scan) เป็นขั้นตอนวิธีสำหรับคำนวณหา เปลือกนูน ของเซตจุดบนระนาบ โดยมีความซับซ้อนด้านเวลา (time complexity) เป็น O(n log n) ชื่อของชั้นตอนวิธีมาจากผู้เผยเพร่ขั้นตอนวิธีต้นฉบับในปี ค.ศ. 1972^[1]

ขั้นตอนวิธี แก้

จากภาพ PAB และ ABC เป็นการ "เลี้ยวซ้าย" แต่ BCD เป็นการ "เลี้ยวขวา" ขั้นตอนวิธีจึงไม่รวมจุด C เข้าไปในเซตคำตอบ และไปเลือกจุด D ซึ่งเป็นจุดเลี้ยวซ้ายถัดไปแทน

ขั้นตอนวิธีเริ่มจากจุดที่มีพิกัด y ต่ำสุด หากพบจุดที่มีคู่อันดับ y ต่ำสุดมากกว่าหนึ่งจุด ให้เลือกจุดที่มีคู่อันดับ x ต่ำสุดในกลุ่มนั้น เรียกจุดนี้ว่าจุด P ขั้นตอนนี้ใช้เวลา O(n) โดยที่ n คือจำนวนของจุดทั้งหมด

ถัดมา เรียงลำดับจุดที่เหลือตามมุมที่จุด P และจุดนั้นๆกระทำกับแกน x โดยเรียงจากน้อยไปหามาก การเรียงลำดับสามารถใช้ขั้นตอนวิธีแบบใดก็ได้ เช่น การเรียงลำดับโดยใช้ฮีป (ใช้เวลา O(n log n)) เพื่อความรวดเร็วในการคำนวณ ไม่จำเป็นต้องหาค่าองศาของมุมระหว่างแกน x และเส้นจากจุด P ไปยังจุดหนึ่งๆ เพื่อนำมาเรียงลำดับ สามารถใช้ค่า โคไซน์ ของมุม ซึ่งในปัญหา convex hull จะเป็นฟังก์ชันลดทางเดียว (monotonically decresing funcion) มีค่าระหว่าง 0 ถึง 180 องศา ซึ่งสามารถคำนวณได้จากคณิตศาสตร์อย่างง่าย

จากนั้น พิจารณาแต่ละจุดตามลำดับที่เรียงไว้ โดยพิจารณาจากจุดนั้นๆร่วมกับก่อนหน้าสองจุด ว่าการเลือกจุดถัดไปนั้นเป็นการ "เลี้ยวขวา" หรือ "เลี้ยวซ้าย" หากเป็นการ "เลี้ยวขวา" หมายความว่าจุดตรงกลางไม่เป็นส่วนหนึ่งของผนัง convex hull และจะไม่นำมาพิจารณาอีก พิจารณาในขั้นตอนนี้ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งพบการ "เลี้ยวซ้าย" ซึ่งหมายความว่า จุดตรงกลางคือส่วนหนึ่งของผนัง convex hull จึงพิจารณาจุดถัดไป (หากระหว่างการพิจารณาพบเส้นทางตรงซึ่งไม่มีการเลี้ยว อาจรวม หรือ ไม่รวม จุดนั้นในเซตคำตอบ ขึ้นกับปัญหา เนื่องจากการนำไปใช้บางสถานการณ์จำเป็นต้องรวมทุกจุดบนผนัง convex hull ลงไปในคำตอบ)

เช่นเดียวกับการเรียงลำดับจุดตามมุมในขั้นตอนที่สอง การพิจารณาจุดสามจุดว่าเป็นการ "เลี้ยวขวา" หรือ "เลี้ยวซ้าย" ไม่จำเป็นต้องคำนวณองศาของระหว่างเส้นสองเส้น แต่สามารถคำนวณจากคณิตศาสตร์อย่างง่าย สำหรับจุดสามจุด $(x_{1},y_{1})$ , $(x_{2},y_{2})$ และ $(x_{3},y_{3})$ นั้น สามารถคำนวณหาทิศทางของผลลัพธ์จากการครอสส์เวกเตอร์ $((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))$ และ $((x_{1},y_{1}),(x_{3},y_{3}))$ ซึ่งคำนวณได้จากเครื่องหมายของนิพจน์ $(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1})$ หากผลลัพธ์เป็น 0 แสดงว่าจุดสามจุดเรียงกันเป็นเส้นตรง หากผลลัพธ์เป็นบวก แสดงจุดทั้งสามทำให้เกิดการ "เลี้ยวซ้าย" และหากผลลัพธ์เป็นลบ แสดงว่าเกิดการ "เลี้ยวขวา"

สุดท้าย กระบวนการจะวนกลับมายังจุดเริ่มต้น ทำให้เสร็จสิ้นขั้นตอนวิธี ได้ผลลัพธ์เป็นจุดที่อยู่บนผนัง convex hull เรียงตามลำดับทวนเข็มนาฬิกาจากจุด P

ความซับซ้อนด้านเวลา แก้

การเรียงลำดับจุดทั้งหมดมีความซับซ้อนด้านเวลาเป็น O(n log n) ส่วนการทำงานในวงวนตรวจสอบว่าการเลือกจุดถัดไปเป็นการ "เลี้ยวขวา" หรือ "เลี้ยวซ้าย" ใช้เวลาเพียง O(n) เนื่องจากจุดใดๆจะนำมาตรวจสอบเพียงสองครั้ง หากตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นจุด $(x_{2},y_{2})$ ในการ "เลี้ยวซ้าย" ขั้นตอนวิธีจะดำเนินต่อไปยังจุด $(x_{3},y_{3})$ และถ้าหากพบว่าเป็นจุด $(x_{2},y_{2})$ ในการเลี้ยวขวา จุดนั้นก็จะไม่ถูกนำมาพิจารณาอีก ดังนั้น เกรแฮมสแกน มีความซับซ้อนทางเวลาเป็น O(n log n) ตามการเรียงลำดับจุด ซึ่งใช้เวลามากที่สุดในขั้นตอนวิธี

รหัสเทียม แก้

อันดับแรก กำหนดฟังก์ชันคำนวณการ "เลี้ยวขวา" และ "เลี้ยวซ้าย" โดย จุดสามจุดก่อให้เกิดการ "เลี้ยวซ้าย" เมื่อ ccw > 0, "เลี้ยวขวา" เมื่อ ccw < 0 และ เรียงตัวเป็นเส้นตรงเมื่อ ccw = 0 เนื่องจาก ccw คือพื้นที่สามเหลี่ยมจากการวางตัวของจุด p1, p2 และ p3 โดยคิดเครื่องหมายบวก-ลบ ด้วย

function ccw(p1, p2, p3):
    return (p2.x - p1.x)*(p3.y - p1.y) - (p2.y - p1.y)*(p3.x - p1.x)

ให้คำตอบอยู่ในตาราง points

ให้ N = จำนวนจุดทั้งหมด
ให้ points[N+1] = ตารางของจุดทั้งหมด
สลับ points[1] กับจุดที่มีตำแหน่งบนแกน y ต่าที่สุด
เรียง points จากมุมที่จุดต่างๆกระทำกับจุด points[1] จากน้อยไปหามาก

# ต้องการให้ points[0] เป็นจุดสุดท้ายซึ่งจะจบการทำงานในวงวน ดังนั้น
ให้ points[0] = points[N]

# ค่า M จะแสดงถึงจำนวนจุดบนผนัง convex hull
ให้ M = 2
for i = 3 to N:
    # หาจุดบนผนัง convex hull จุดถัดไป
    while ccw(points[M-1], points[M], points[i]) <= 0:
          # หากจุดทั้งสามเรียงตัวกันเป็นเส้นตรง จะไม่สนใจจุดนั้น
          if M == 2:
                  สลับ points[M] กับ points[i]
                  i += 1
          else
                  M -= 1

    # เพิ่มค่า M ให้ถูกต้อง และสลับจุด points[i] มายังส่วนคำตอบ
    M += 1
    สลับ points[M] กับ points[i]

รหัสเทียมนี้ปรับปรุงจากตำรา Algorithms, 4th edition โดย Sedgewick and Wayne^[2]

ดูเพิ่ม แก้

อ้างอิง แก้

↑ Graham, R.L. (1972). An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set. Information Processing Letters 1, 132-133
↑ Sedgewick, Robert (2011). Algorithms. Upper Saddle River, NJ: Addison-Wesley. ISBN 9780321573513.

Rashid Bin Muhammad, PhD (2010-11-07). "Graham's Scan - Lecture by Rashid Bin Muhammad, PhD". สืบค้นเมื่อ 2011-09-18. {{cite web}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |h1= ถูกละเว้น (help)
Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E., Rivest, Ronald L., Stein, Clifford (2001) [1990]. "33.3: Finding the convex hull". Introduction to Algorithms (2nd ed.). MIT Press และ McGraw-Hill. หน้า 949–955. ISBN 0-262-03293-7.

[1] Graham, R.L. (1972). An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set. Information Processing Letters 1, 132-133

[2] Sedgewick, Robert (2011). Algorithms. Upper Saddle River, NJ: Addison-Wesley. ISBN 9780321573513.

[1]

[2]