อสมการโคชี-ชวาร์ซ

อสมการโคชี-ชวาร์ซ (อังกฤษ: Cauchy–Schwarz inequality บางครั้งเรียก Bunyakovsky inequality หรือ Schwarz inequality, หรือ Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality) เป็นอสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์หลายสาขา อาทิเช่น วิชาพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง ทฤษฎีความน่าจะเป็น และถือเป็นอสมการที่สำคัญที่สุดอสมการหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์ อสมการโคชี-ชวาร์ซมีรูปแบบทั่วไปอีกเรียกว่า อสมการของโฮลเดอร์ (Hölder's inequality)

ประวัติ

อสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปของ อสมการของผลรวม ซึ่งเป็นกรณีอันตะถูกตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อปี ค.ศ. 1821 โดย ออกัสติน-หลุยส์ โคชี (Augustin-Louis Cauchy) ในขณะที่ วิกเตอร์ บันยาคอฟสกี้ (Viktor Bunyakovsky) ลูกศิษย์ของโคชี เสนออสมการในรูปแบบของอสมการปริพันธ์ที่เป็นกรณีทั่วไปกว่าในปี ค.ศ. 1859 และ เฮอร์มาน ชวาร์ซ (Hermann Schwarz) ค้นพบผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปของผลคูณภายในเมื่อปี ค.ศ. 1885

อสมการโคชี-ชวาร์ซ

ให้ $X$ เป็นปริภูมิผลคูณภายใน และ $x,y\in X$

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ,$

โดยที่ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ คือผลคูณภายใน หลังจากถอดรากที่สองทั้งสองข้างของอสมการ และจัดรูปให้อยู่ในรูปของนอร์มของเวกเตอร์ จะได้ว่า

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,$

โดยที่อสมการทั้งสองข้างจะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ $x$ และ $y$ เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (ในทางเรขาคณิต, $x$ และ $y$ ขนานกัน หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์)

ในกรณี $\mathbb {C}$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C}$ และ $y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C}$ อาจสามารถเขียนอสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปแบบชัดแจ้งได้ดังนี้

$|x_{1}{\bar {y_{1}}}+\cdots +x_{n}{\bar {y_{n}}}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).$

โดยที่ x₁, ..., x_n, and y₁, ..., y_n เป็นสมาชิกของเวกเตอร์ $x$ และ $y$

หรือสามารถเขียนอยู่ในรูปที่กระชับคือ

$\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y_{i}}}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{2}.$

การพิสูจน์

พิจารณา กรณี $y=0$ จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี $y\neq 0$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากอสมการจะได้ว่า $0\leq \langle x-ay,x-ay\rangle =\langle x,x\rangle -a\langle y,x\rangle -{\bar {a}}\langle x,x\rangle +|a|^{2}\langle y,y\rangle$

พบว่าถ้าแทน $a$ ด้วย $a={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}$ แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง