ส่วนเติมเต็ม

ส่วนเติมเต็ม หรือ คอมพลีเมนต์ (อังกฤษ: complement) คือแนวคิดหนึ่งที่ใช้ในการเปรียบเทียบเซต เพื่อที่จะให้ทราบว่า เมื่อเซตหนึ่งสัมพันธ์กับอีกเซตหนึ่ง มีสมาชิกใดบ้างที่อยู่ภายใต้เซตเพียงเซตเดียว แบ่งออกตามการใช้งานเป็น ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ (absolute complement) กับ ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ (relative complement) ซึ่งแนวคิดแรกหมายถึงส่วนเติมเต็มที่เกี่ยวข้องกับเอกภพสัมพัทธ์ (universal set) ส่วนแนวคิดหลังเกี่ยวข้องกับเซตตัวอื่น

ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ แก้

พื้นที่สีเทาคือส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว ดังนั้นส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน U จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A (หรือเรียกแค่ส่วนเติมเต็มก็ได้) เขียนแทนด้วย A^C หรือ A′ นั่นคือ

A^{\mathrm {'} }=\mathbf {U} \setminus A=\{x\in \mathbf {U} \,|\,x\notin A\}

หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน U ตัวอย่างเช่น ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตจำนวนเต็ม ดังนั้นส่วนเติมเต็มของเซตจำนวนคู่ ก็คือเซตจำนวนคี่

สมบัติต่อไปนี้คือสมบัติที่สำคัญของส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบนเซตอื่นๆ กำหนดให้ A และ B เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U

กฎเดอมอร์แกน
- $(A\cup B)^{\mathrm {c} }=A^{\mathrm {'} }\cap B^{\mathrm {c} }$
- $(A\cap B)^{\mathrm {c} }=A^{\mathrm {'} }\cup B^{\mathrm {c} }$
กฎส่วนเติมเต็ม
- $A\cup A^{\mathrm {'} }=\mathbf {U}$
- $A\cap A^{\mathrm {'} }=\varnothing$
- $\varnothing ^{\mathrm {'} }=\mathbf {U}$
- $\mathbf {U} ^{\mathrm {c} }=\varnothing$
- $A\subseteq B\Rightarrow B^{\mathrm {c} }\subseteq A^{\mathrm {'} }$
อาวัตนาการ (involution) หรือกฎส่วนเติมเต็มซ้ำสอง
- $(A^{\mathrm {'} })^{\mathrm {'} }=A\,$
ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์และส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์
- $A\setminus B=A\cap B^{\mathrm {c} }$
- $(A\setminus B)^{\mathrm {c} }=A^{\mathrm {'} }\cup B$

ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ แก้

พื้นที่สีม่วงคือส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B

กำหนดให้เซต A และ B ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B (หรือเรียกว่าผลต่างของเซต B กับ A) หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน B เขียนแทนด้วย B − A