สมาชิกเอกลักษณ์
บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากแหล่งที่มาใด |
ในทางคณิตศาสตร์ สมาชิกเอกลักษณ์ (อังกฤษ: identity element) หรือ สมาชิกกลาง (neutral element) คือสมาชิกพิเศษของเซตหนึ่งๆ ซึ่งเมื่อสมาชิกอื่นกระทำการดำเนินการทวิภาคกับสมาชิกพิเศษนั้นแล้วได้ผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง สมาชิกเอกลักษณ์มีที่ใช้สำหรับเรื่องของกรุปและแนวความคิดที่เกี่ยวข้อง คำว่า สมาชิกเอกลักษณ์ มักเรียกโดยย่อว่า เอกลักษณ์
กำหนดให้กรุป (S, *) เป็นเซต S ที่มีการดำเนินการทวิภาค * (ซึ่งรู้จักกันในชื่อ แม็กม่า (magma)) สมาชิก e ในเซต S จะเรียกว่า เอกลักษณ์ซ้าย (left identity) ถ้า e * a = a สำหรับทุกค่าของ a ในเซต S และเรียกว่า เอกลักษณ์ขวา (right identity) ถ้า a * e = a สำหรับทุกค่าของ a ในเซต S และถ้า e เป็นทั้งเอกลักษณ์ซ้ายและเอกลักษณ์ขวา เราจะเรียก e ว่าเป็น เอกลักษณ์สองด้าน (two-sided identity) หรือเรียกเพียงแค่ เอกลักษณ์
เอกลักษณ์ที่อ้างถึงการบวกเรียกว่า เอกลักษณ์การบวก ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ 0 ส่วนเอกลักษณ์ที่อ้างถึงการคูณเรียกว่า เอกลักษณ์การคูณ ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ 1 ความแตกต่างของสองเอกลักษณ์นี้มักถูกใช้บนเซตที่รองรับทั้งการบวกและการคูณ ตัวอย่างเช่น ริง นอกจากนั้นเอกลักษณ์การคูณมักถูกเรียกว่าเป็น หน่วย (unit) ในบางบริบท แต่ทั้งนี้ หน่วย อาจหมายถึงสมาชิกตัวหนึ่งที่มีตัวผกผันการคูณในเรื่องของทฤษฎีริง
ตัวอย่าง แก้
| เซต | การดำเนินการ | สมาชิกเอกลักษณ์ |
|---|---|---|
| จำนวนจริง | + (การบวก) | 0 |
| จำนวนจริง | · (การคูณ) | 1 |
| จำนวนจริง | ab (การยกกำลัง) | 1 (เฉพาะเอกลักษณ์ซ้าย) |
| เมทริกซ์มิติ m×n | + (การบวก) | เมทริกซ์ศูนย์ |
| เมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n | · (การคูณ) | เมทริกซ์เอกลักษณ์ |
| ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันจากเซต M ไปยัง M | ∘ (การประกอบฟังก์ชัน) | ฟังก์ชันเอกลักษณ์ |
| ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันจากเซต M ไปยัง M | * (สังวัตนาการ) | δ (ฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)) |
| สายอักขระ (string) หรือรายการ (list) | การต่อสายอักขระ (concatenation) | สายอักขระว่าง (empty string) หรือรายการว่าง (empty list) |
| จำนวนจริงขยาย (extended real number) | ค่าต่ำสุด/ขอบเขตล่างมากสุด | +∞ |
| จำนวนจริงขยาย (extended real number) | ค่าสูงสุด/ขอบเขตบนน้อยสุด | −∞ |
| เซตย่อยของเซต M | ∩ (อินเตอร์เซกชัน (intersection)) | M |
| เซตใดๆ | ∪ (ยูเนียน (union)) | ∅ (เซตว่าง) |
| ตรรกะแบบบูล (Boolean logic) | ∧ (ตัวดำเนินการ และ) | ⊤ (ค่าจริง) |
| ตรรกะแบบบูล (Boolean logic) | ∨ (ตัวดำเนินการ หรือ) | ⊥ (ค่าเท็จ) |
| พื้นผิวแบบปิด (compact surface) | # (ผลรวมเชื่อมโยง (connected sum)) | S² |
| เซตที่มีสมาชิกสองตัว {e, f} | * ที่นิยามโดย e * e = f * e = e และ f * f = e * f = f |
ทั้ง e และ f เป็นเอกลักษณ์ซ้าย แต่ไม่มีเอกลักษณ์ขวาหรือสองด้าน |
จากตัวอย่างสุดท้ายที่ได้แสดง กรุป (S, *) สามารถมีเอกลักษณ์ซ้ายได้หลายตัว ซึ่งความจริงก็คือสมาชิกทุกตัวสามารถเป็นเอกลักษณ์ซ้ายได้ และในทางเดียวกันก็สามารถมีเอกลักษณ์ขวาได้หลายตัวด้วย ถ้าหากกรุปมีทั้งเอกลักษณ์ซ้ายและเอกลักษณ์ขวา และทั้งสองมีค่าเท่ากัน จะเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์สองด้านในสมาชิกตัวเดียวกัน ยกตัวอย่าง สมมติให้ l เป็นเอกลักษณ์ซ้าย และ r เป็นเอกลักษณ์ขวา ทั้ง l และ r จะเป็นเอกลักษณ์สองด้านก็ต่อเมื่อ l = l * r = r นอกจากนั้นเอกลักษณ์สองด้านก็สามารถมีได้หลายตัวเช่นกัน
ยิ่งไปกว่านั้นก็มีความเป็นไปได้ในทางพีชคณิตที่จะไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์อยู่ในกรุปเลย ดังจะเห็นได้จากผลคูณจุดและผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ ผลคูณจุดจะให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเวกเตอร์ใดเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ และผลคูณไขว้จะให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่อยู่ในทิศทางตั้งฉากกับสองเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้งและไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีเวกเตอร์ลัพธ์อยู่ในทิศทางเดิมเหมือนตอนเริ่มต้น
ดูเพิ่ม แก้
- สมาชิกผกผัน
- ตัวผกผันการบวก
- โมนอยด์ (monoid)
- ยูนิทัล (unital)
- กรุปเสมือน (quasigroup)