รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสามเหลี่ยมชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular polygon) กล่าวคือ มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากันคือ 60° ด้วยคุณสมบัติทั้งสอง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular polygon) และเรียกอีกชื่อหนึ่งได้ว่าเป็น รูปสามเหลี่ยมปรกติ

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติ
ชนิด	รูปสามเหลี่ยม, 2-ซิมเพล็กซ์
ขอบและจุดยอด	3
สัญลักษณ์ชเลฟลี	{3}
ค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน
กรุปสมมาตร	D3
พื้นที่	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$
มุมภายใน (องศา)	60°

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ $a\,\!$ หน่วย จะมีส่วนสูง (altitude) เท่ากับ ${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ หน่วย และมีพื้นที่เท่ากับ ${\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ ตารางหน่วย

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความสมมาตรมากที่สุด คือมีสมมาตรแบบสะท้อนสามเส้น และสมมาตรแบบหมุนที่อันดับสามรอบศูนย์กลาง กรุปสมมาตรของรูปสามเหลี่ยมนี้จัดว่าเป็นกรุปการหมุนรูปของอันดับหก (dihedral group of order 6) หรือ D₃

ทรงสี่หน้าปรกติ สร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถพบได้ในโครงสร้างทางเรขาคณิตอื่นๆ หลายอย่าง เช่น รูปวงกลมที่มีรัศมีเท่ากันสองวงตัดกัน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวงหนึ่ง ทำให้เกิดส่วนโค้งขนาดเท่ากัน และสามารถแสดงได้ด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสามเหลี่ยมนี้ยังเป็นส่วนหนึ่งของการสร้างทรงหลายหน้า ทรงตันเพลโตสามในห้าชิ้นประกอบขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หนึ่งในนั้นคือทรงสี่หน้าปรกติ ซึ่งประกอบด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสี่หน้า นอกจากนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถนำมาเรียงติดต่อกันบนระนาบ จนเกิดเป็นรูปแบนราบสามเหลี่ยม (triangular tiling)

การหารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้จากทฤษฎีบทสามส่วนของมอร์ลีย์ (Morley's trisector theorem)

การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายด้วยสันตรงและวงเวียน เริ่มต้นจากวาดวงกลมรัศมี r หน่วยด้วยวงเวียน จากนั้นวาดวงกลมอีกวงหนึ่งด้วยรัศมีเท่ากัน โดยให้จุดศูนย์กลางของวงใหม่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมแรก วงกลมทั้งสองจะตัดกันสองจุด ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดศูนย์กลางทั้งสอง และลากจากจุดศูนย์กลางทั้งสองไปยังจุดตัดจุดหนึ่งบนเส้นรอบวง ส่วนของเส้นตรงทั้งสามเส้นจะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ r หน่วย

รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนหมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวของด้านเป็นจำนวนตรรกยะ จะให้พื้นที่เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงไม่มีทางเป็นฮีโรเนียน อย่างไรก็ตาม มีลำดับของรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนชุดหนึ่งและเป็นชุดเดียวที่ "คล้ายด้านเท่า" เพราะว่าด้านทั้งสามที่มีความยาวเท่ากับ n − 1, n, n + 1 และเป็นจำนวนเต็ม จากตัวอย่างต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า

ความยาวของด้าน			พื้นที่
n − 1	n	n + 1
3	4	5	6
13	14	15	84
51	52	53	1170
193	194	195	16296

ลำดับจำนวนของ n สามารถหาได้จากการคูณจำนวนก่อนหน้าด้วย 4 และลบด้วยสองจำนวนก่อนหน้า นั่นคือ

$q_{n}=4q_{n-1}-q_{n-2}\,\!$

ตัวอย่างเช่น 52 = 4 × 14 − 4 และ 194 = 4 × 52 − 14 เป็นต้น ลำดับจำนวนนี้สามารถสร้างขึ้นจากผลเฉลยของสมการของเพลล์ $x^{2}-3y^{2}=1$ ซึ่งถูกถ่ายทอดมาจากการขยายเศษส่วนต่อเนื่องของ √3

ดูเพิ่ม

• ตรีโกณมิติ
• ทฤษฎีบทของวีวีอานี (Viviani's theorem)

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Construction" จากแมทเวิลด์.