ยูเนียน

ยูเนียน (อังกฤษ: union) หรือ ส่วนรวม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∪ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)

นิยาม

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต A กับ B พื้นที่สีม่วงคือการยูเนียนของเซตทั้งสอง

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

$A\cup B=\{x\in \mathbf {U} \,|\,x\in A\lor x\in B\}$

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น

${\begin{aligned}A&=\{1,2,3,4\}\\B&=\{5,6,7,8\}\\A\cup B&=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\\\end{aligned}}$

ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้

${\begin{aligned}A&=\{1,2,3\}\\B&=\{2,3,4\}\\A\cup B&=\{1,2,3,4\}\\\end{aligned}}$

สมบัติ

ยูเนียนมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

• ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
  • $A\cup B=B\cup A$
• ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
  • $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C$
• สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
  • $\varnothing \cup A=A\cup \varnothing =A$
• เซตใดๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
  • $\mathbf {U} \cup A=A\cup \mathbf {U} =\mathbf {U}$
• ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
  • $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\Longleftrightarrow (B\cap C)\cup A=(B\cup A)\cap (C\cup A)$
  • $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\Longleftrightarrow (B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A)$
• ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
  • $(A\cup B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cap B^{\mathrm {C} }$
  • $(A\cap B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cup B^{\mathrm {C} }$

รูปแบบ

ยูเนียนจำกัด

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต A, B, และ C จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A, สมาชิกทั้งหมดของ B, และสมาชิกทั้งหมดของ C โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า x จะเป็นสมาชิกของเซต A ∪ B ∪ C ก็ต่อเมื่อ x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B หรือ x เป็นสมาชิกของ C

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน ยูเนียนจำกัด จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

ยูเนียนไม่จำกัด

อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) x จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ M ก็ต่อเมื่อ มีเซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M อย่างน้อยหนึ่งตัว และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย $\bigcup \mathbf {M}$ หรือ $\bigcup _{A\in \mathbf {M} }A$ ดังนี้

$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A$

การยูเนียนของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต A_i ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ ยูเนียนไม่จำกัด (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \dots$

อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด

$A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}=\bigcup _{i\in I}(A\cap B_{i})$

และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา

$\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}A_{i,j}\right)\subseteq \bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i,j}\right)$

อ้างอิง

• วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม

• ผลต่างสมมาตร
• อินเตอร์เซกชัน
• ส่วนเติมเต็ม
• การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.