วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "1 − 2 + 3 − 4 + · · ·"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
JBot (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 57,064 ครั้ง
ล ย้อนการแก้ไขที่อาจเป็นการทดลอง หรือก่อกวนด้วยบอต ไม่ควรย้อน? แจ้งที่นี่
ป้ายระบุ: ย้อนด้วยมือ ถูกย้อนกลับแล้ว
ห
ป้ายระบุ: ย้อนด้วยมือ ถูกย้อนกลับแล้ว การแก้ไขผิดปกติในบทความคัดสรร/คุณภาพ
บรรทัด 1:
{{บทความคัดสรร}}
[[ภาพ:Royal Monogram of Princess Maha Chakri Sirindhorn.svg|40px]]
[[ไฟล์:Pm1234 Ground.png|thumb|กราฟแสดงผลรวมจำกัดพจน์ 15,000 ค่าแรกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + …]]
[[ไฟล์:Stomach_colon_rectum_diagram-th.svg|thumb]]|กราฟแสดงผลรวมจำกัดพจน์ 15,000 ค่าแรกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + …สองหี]]
 
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''1 − 2 + 3 − 4 + ···''' เป็น[[อนุกรม]]อนันต์ที่แต่ละพจน์เป็น[[จำนวนเต็มบวก]]ลำดับถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดย[[อนุกรมสลับ|ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกัน]] ผลรวม ''m'' พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์[[ผลรวม]]ได้ในรูป
เส้น 8 ⟶ 9:
อนุกรมนี้เป็น[[อนุกรมลู่ออก]] เพราะลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหา[[ลิมิต]]ที่เป็นจำนวนจำกัดใด ๆ อย่างไรก็ตาม มี[[ปฏิทรรศน์]]จำนวนมากที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต ใน[[คริสต์ศตวรรษที่ 18]] [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] ได้เขียนสมการซึ่งเขายอมรับว่าเป็นปฏิทรรศน์ต่อไปนี้
 
: =หี
: <math>1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4} </math>
 
เสามัญสำนึก และยังสามารถนิยามค่าของอนุกรมดังกล่าวได้ ตัวอย่างวิธีการหนึ่งเช่น หากนำอนุกรม (1 – 2 + 3 – 4 + ...) มาหาผลบวกกับตัวเอง 4 ครั้งในตำแหน่งที่เหมาะสม พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะตัดกันไปหมด ยกเว้น "1" ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ซ้ำกัน 4 ครั้งมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอนุกรมนี้จึงมีค่าเท่ากับ 1/หีหีหี
เป็นเวลานานกว่าจะมีคำอธิบายอย่างชัดเจนถึงสมการดังกล่าว ตั้งแต่ปี [[พ.ศ. 2433]] [[แอร์เนสโต เชซะโร]], [[เอมีล บอแรล]] และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีการนิยามผลรวมของอนุกรมลู่ออกทั่วไป วิธีเหล่านั้นจำนวนมากต่างได้นิยามค่า 1 − 2 + 3 − 4 + … ให้ "เท่ากับ" 1/4 [[ผลรวมเซซาโร]]เป็นหนึ่งในวิธีการที่ไม่สามารถนิยามค่าของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ อนุกรมนี้จึงเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ต้องใช้วิธีการที่แรงกว่าเพื่อนิยามค่า เช่น [[อนุกรมลู่ออก|ผลรวมอาเบล]]
 
อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ[[อนุกรมแกรนดี]] 1 − 1 + 1 − 1 + … ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของอนุกรม {{nowrap|1 − 2<sup>n</sup> + 3<sup>n</sup> − 4<sup>n</sup> + …}} งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่อง[[ปัญหาบาเซิล]] ซึ่งนำไปสู่[[สมการเชิงฟังก์ชัน]]ที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ[[ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์]]และ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]]
 
== คำอธิบายเกี่ยวกับปฏิทรรศน์ ==
ในทางคณิตศาสตร์ ถ้ามีชุดของกฎที่สอดคล้องกับตัวมันเองแล้ว เราจะสามารถใช้งานกฎเหล่านั้นได้ แม้ตามนิยามของคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ อาจไม่สามารถอธิบายให้ 1 – 2 + 3 – 4 + ... เท่ากับค่าใดค่าหนึ่งได้ แต่ยังมีอีกหลายวิธีที่จะนิยามคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ซึ่งไม่ขัดกับสามัญสำนึก และยังสามารถนิยามค่าของอนุกรมดังกล่าวได้ ตัวอย่างวิธีการหนึ่งเช่น หากนำอนุกรม (1 – 2 + 3 – 4 + ...) มาหาผลบวกกับตัวเอง 4 ครั้งในตำแหน่งที่เหมาะสม พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะตัดกันไปหมด ยกเว้น "1" ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ซ้ำกัน 4 ครั้งมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอนุกรมนี้จึงมีค่าเท่ากับ 1/4
<pre> 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . .
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . .
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . .
+ 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
--------------------------------------------
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . </pre>
 
== การลู่ออกของอนุกรม ==
เส้น 38 ⟶ 28:
แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ {{nowrap|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + …}} สำหรับบางจำนวน ''s'' เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า ''s'' = {{frac|1|4}} ได้ดังนี้<ref>Hardy (p.6) นำเสนอสมการดังกล่าวพร้อมกับการหาค่า[[อนุกรมแกรนดี]] 1 − 1 + 1 − 1 + ...</ref>
 
:
: <math>
[[ภาพ:Royal Monogram of Princess Maha Chakri Sirindhorn.svg|40px]]
\begin{array}{rclllll}
[[ไฟล์:Stomach_colon_rectum_diagram-th.svg|thumb]]|แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = {{frac|1|4}} โดยใช้การขยับพจน์เพื่อให้อนุกรมนี้ 4 ชุดรวมกันแล้วเท่ากับ 1 ด้านซ้ายและด้านขวาของแผนภาพยังได้แสดงว่า ผลบวกของอนุกรมนี้ 2 ชุดรวมกันเท่ากับ 1 − 1 + 1 − 1 + ....]]
4s&=& & (1-2+3-4+\cdots) & {}+ (1-2+3-4+\cdots) & {}+ (1-2+3-4+\cdots) &{}+ (1-2+3-4+\cdots) \\
&=& & (1-2+3-4+\cdots) & {}+1+ (-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+ (-2+3-4+5+\cdots) &{}+ (1-2) + (3-4+5-6\cdots) \\
&=& & (1-2+3-4+\cdots) & {}+1+ (-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+ (-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+ (3-4+5-6\cdots) \\
&=&1+& (1-2+3-4+\cdots) & {}+ (-2+3-4+5+\cdots) & {}+ (-2+3-4+5+\cdots) &{}+ (3-4+5-6\cdots) \\
&=&1+[& (1-2-2+3) & {}+ (-2+3+3-4) & {}+ (3-4-4+5) &{}+ (-4+5+5-6) +\cdots] \\
&=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}
</math>
 
[[ไฟล์:Pm1234 linearity.png|thumb|แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = {{frac|1|4}} โดยใช้การขยับพจน์เพื่อให้อนุกรมนี้ 4 ชุดรวมกันแล้วเท่ากับ 1 ด้านซ้ายและด้านขวาของแผนภาพยังได้แสดงว่า ผลบวกของอนุกรมนี้ 2 ชุดรวมกันเท่ากับ 1 − 1 + 1 − 1 + ....]]
จึงได้ว่า <math>s=\frac{1}{4}</math> ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา
 
ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ {{nowrap|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}} ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่า[[วิธีหาผลรวม]] ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ {{frac|1|4}} เสมอ<ref>Hardy p.6</ref> นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และ[[อนุกรมแกรนดี]] 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ
 
:
: <math>
\begin{array}{rcllll}
2s & = & &(1-2+3-4+\cdots) & + & (1-2+3-4+\cdots) \\
& = & 1 +{} &(-2+3-4+\cdots) & {} + 1 - 2 & {}+ (3-4+5\cdots) \\
& = & 0 +{} &(-2+3)+(3-4)+ (-4+5)+\cdots \\
2s & = & &1-1+1-1\cdots
\end{array}
</math>
 
ซึ่ง <math>s=\frac{1}{4}</math> ทำให้นำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = {{frac|1|2}}<ref>Hardy p.6</ref>
 
=== ผลคูณโคชี ===
ใน [[พ.ศ. 2434]] [[แอร์เนสโต เชซะโร]] ได้คาดหวังว่าจะมีการนำอนุกรมลู่ออกมาใช้อย่างมากใน[[แคลคูลัส]] เขาได้ระบุว่า "เราสามารถเขียนให้ {{nowrap|1= (1 − 1 + 1 − 1 + ...)<sup>2</sup> = 1 − 2 + 3 − 4 + ...}} และยืนยันได้ว่าทั้งสองข้างนั้นเท่ากับ {{frac|1|4}}"<ref>Ferraro, p.130</ref> สมการดังกล่าวเป็นกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทที่เชซะโรได้ตีพิมพ์ในปีก่อนหน้า ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทแรกในประวัติศาสตร์ของการหาผลรวมอนุกรมลู่ออก วิธีการหาผลรวมของเซซาโรใช้แนวคิดหลักที่ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … นั้นเกิดจาก[[ผลคูณโคชี]]ของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …
 
นิยามของผลคูณโคชีนั้นได้รวมถึงกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออกด้วย สำหรับ Σ''a''<sub>''n''</sub> = Σ''b''<sub>''n''</sub> = Σ (−1) <sup>''n''</sup> เมื่อหาผลคูณโคชีตามนิยามจะได้
 
: <math>\begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1) ^k (-1) ^{n-k} \\[1em]
& = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1) ^n = (-1) ^n (n+1)
\end{array}</math>
 
ผลคูณโคชีของอนุกรมจึงมีค่าเท่ากับ
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty (-1) ^n (n+1) = 1-2+3-4+\cdots</math>
 
ดังนั้น วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่ยอมรับผลคูณโคชีของอนุกรม และกำหนดผลรวมของ 1 − 1 + 1 − 1 + ... เท่ากับ {{frac|1|2}} จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้เท่ากับ {{frac|1|4}} เสมอ ผลลัพธ์ดังกล่าวยังแสดงถึงความสมมูลกันในเชิงการหาผลรวมได้ของอนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... และ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ด้วยวิธีหาผลรวมที่เป็นเชิงเส้น เสถียร และยอมรับผลคูณโคชี
 
วิธีการดังกล่าวเป็นเพียงตัวอย่างขั้นพื้นฐาน อนุกรม 1 - 1 + 1 - 1 + … จัดว่าเป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุดในเชิงการหาผลรวมเซซาโร เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ต้องใช้ทฤษฎีที่แรงขึ้นในการหาผลรวม เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 2)<ref>Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55</ref>
 
== วิธีต่าง ๆ ในการหาผลรวม ==
มีหลายวิธีการในการนิยามผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น
 
=== เซซาโรและเฮิลเดอร์ ===
[[ไฟล์:Pm1234 means.svg|thumb|กราฟแสดงผลรวม (H, 2) ของอนุกรม ซึ่งมีค่าเท่ากับ {{frac|1|4}}]]
 
การหา[[ผลรวมเซซาโร]] (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ทำโดยการคำนวณ[[ค่าเฉลี่ยเลขคณิต]]ของผลรวมจำกัดพจน์ ผลรวมจำกัดพจน์เหล่านั้นได้แก่
 
: 1, −1, 2, −2, 3, −3, …
 
ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
 
: 1, 0, {{frac|2|3}}, 0, {{frac|3|5}}, 0, {{frac|4|7}}, …
 
ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลรวมเซซาโรของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้
 
มีอย่างน้อยสองวิธีในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไป วิธีแรกประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (H, ''n'') เมื่อ ''n'' เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ เริ่มจาก (H, 1) คือผลรวมเซซาโร และผลรวมขั้นที่สูงขึ้นเกิดจากการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมขั้นที่ต่ำกว่าซ้ำอีกครั้ง เช่น ในตัวอย่างข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คู่ลู่เข้าสู่ {{frac|1|2}} ส่วนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คี่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น หากเราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต''ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต''เหล่านั้นทั้งหมดอีกครั้ง คำตอบที่ได้จะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 0 และ {{frac|1|2}} นั่นคือ {{frac|1|4}}<ref>Hardy, p.9; สำหรับการคำนวณอย่างละเอียด, ดู Weidlich, pp.17–18</ref> ดังนั้น 1 − 2 + 3 − 4 + ... สามารถหาผลรวมได้แบบ (H, 2) ซึ่งเท่ากับ {{frac|1|4}}
 
อักษร "H" มาจากชื่อของ [[ออทโท เฮิลเดอร์]] ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ถึงความเชื่อมโยงระหว่าง[[อนุกรมลู่ออก|ผลรวมอาเบล]]และผลรวม (H, ''n'') ในปี [[พ.ศ. 2425]] โดยอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นตัวอย่างแรกที่เขาใช้<ref>Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro วิจารณ์คำอธิบายของ Tucciarone (p.7) เกี่ยวกับวิธีที่เฮิลเดอร์หาผลลัพธ์ในกรณีทั่วไป แต่ทั้งสองอธิบายถึงวิธีการที่เฮิลเดอร์จัดการกับอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้คล้ายคลึงกัน</ref> การที่ {{frac|1|4}} เป็นผลรวม (H, 2) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ยืนยันว่ามันเป็นผลรวมอาเบลของอนุกรมดังกล่าวเช่นกัน
 
อีกวิธีหนึ่งในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไปประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (C, ''n'') ซึ่งได้มีการพิสูจน์ว่าผลรวม (C, ''n'') และ (H, ''n'') จะมีค่าเท่ากันเสมอ แม้ว่าวิธีทั้งสองจะมีที่มาแตกต่างกัน ในปี [[พ.ศ. 2430]] เซซาโรได้ยกตัวอย่างของการหาผลรวม (C, ''n'') จำนวนหนึ่ง และได้นิยามวิธีการดังกล่าวอย่างเป็นทางการในปี [[พ.ศ. 2433]] พร้อมกับเสนอทฤษฎีบทของเขาที่พิสูจน์ว่าผลคูณโคชีของอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, ''m'') และอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, ''n'') จะหาผลรวมได้แบบ (C, ''m'' + ''n'' + 1)<ref>Ferraro, pp.123–128</ref>
 
=== ผลรวมอาเบล ===
[[ไฟล์:Pm1234 Abel.svg|thumb|left|120px|กราฟแสดงค่าของ 1−2''x''+3''x''<sup>2</sup>+…; 1/(1 + ''x'') <sup>2</sup> และลิมิตที่ 1]]
 
จากรายงานใน [[พ.ศ. 2292]] [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] ได้ยอมรับว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลรวมให้ได้:
 
{{คำพูด|1=...หากบอกว่าผลรวมของอนุกรม 1−2+3−4+5−6+... คือ {{frac|1|4}} มันจะดูขัดแย้ง เมื่อหาผลรวม 100 พจน์แรกของอนุกรม เราจะได้ -50 แต่ผลรวมของ 101 พจน์แรกคือ +51 ซึ่งแตกต่างจาก {{frac|1|4}} เป็นอย่างมาก และจะยิ่งเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อเราเพิ่มจำนวนพจน์ แต่ข้าพเจ้าได้สังเกตมาก่อนแล้วว่า มีความจำเป็นที่จะต้องนิยามคำว่า ''ผลรวม'' ให้มีความหมายที่กว้างขึ้น...<ref>Euler et al, p.2. ผลงานได้เขียนขึ้นใน พ.ศ. 2292 แต่ได้ตีพิมพ์ใน พ.ศ. 2311</ref>}}
 
ออยเลอร์ได้เสนอรูปทั่วไปของคำว่า "ผลรวม" หลายครั้ง ในกรณีของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... แนวคิดของเขาคล้ายคลึงกับ[[อนุกรมลู่ออก|ผลรวมอาเบล]]:
 
{{คำพูด|1=...ไม่ต้องเป็นที่สงสัยเลยว่า ผลรวมของ 1−2+3−4+5−6+... คือ {{frac|1|4}} เนื่องจากมันเกิดจากการกระจาย {{frac|1| (1+1)<sup>2</sup>}} ซึ่งเป็นที่แน่ชัดว่ามีค่าเท่ากับ {{frac|1|4}} แนวคิดนี้จะยิ่งเห็นได้ชัดเมื่อพิจารณาอนุกรมในรูปทั่วไป 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + 5''x''<sup>4</sup> − 6''x''<sup>5</sup> + ''...'' ซึ่งเกิดจากการกระจาย {{frac|1| (1+''x'')<sup>2</sup>}} ซึ่งมันจะเท่ากับอนุกรมนี้เมื่อเราแทน ''x'' = 1<ref>Euler et al., pp.3, 25</ref>}}
 
สำหรับ[[จำนวนจริง]] ''x'' ที่มี[[ค่าสัมบูรณ์]] |''x''| < 1 จะได้ว่า
 
: <math>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x) ^2}</math>
 
ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการกระจาย[[อนุกรมเทย์เลอร์]]ของฝั่งขวาของสมการ หรือโดยขั้นตอนการหารยาวพหุนาม หากเริ่มจากฝั่งซ้ายของสมการ เราสามารถคูณ (1+''x'') สองครั้ง หรือสามารถยกกำลังสอง[[อนุกรมเรขาคณิต]] {{nowrap|1 − ''x'' + ''x''<sup>2</sup> − ....}} นอกจากนี้ ออยเลอร์ได้แนะนำให้หา[[อนุพันธ์]]ทีละพจน์ของอนุกรมดังกล่าว<ref>ตัวอย่างเช่น Lavine (p.23) แนะนำการหารยาวแต่ไม่ได้ดำเนินการต่อ; Vretblad (p.231) คำนวณผลคูณโคชี; คำแนะนำของออยเลอร์นั้นไม่ชัดเจน; ดู Euler et al., pp.3, 26</ref>
 
ในมุมมองปัจจุบัน อนุกรม 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + … ไม่นิยามเป็น[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]]เมื่อ ''x'' = 1 เราจึงไม่สามารถแทนค่า ''x'' = 1 โดยตรงเพื่อให้เกิดนิพจน์ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ได้นิยามค่าสำหรับทุก {{nowrap|&#124;''x''&#124; < 1}} เราจึงสามารถหาลิมิตเมื่อ ''x'' เข้าใกล้ 1 ได้ และเป็นนิยามของผลรวมอาเบลดังนี้
 
: <math>\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n (-x) ^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x) ^2} = \frac14</math>
 
=== ออยเลอร์และบอแรล ===
[[ไฟล์:Pm1234-Euler.png|thumb|แผนภาพแสดงผลรวมออยเลอร์ {{frac|1|2}} − {{frac|1|4}}]]
 
ออยเลอร์ได้พัฒนาวิธีการอื่นในการหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เรียกว่าการแปลงออยเลอร์งออยเลอร์ วิธีคำนวณการแปลงออยเลอร์นั้นเริ่มจากลำดับของจำนวนเต็มบวกที่ประกอบกันเป็นอนุกรมสลับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, … เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า ''a''<sub>0</sub>
 
จากนั้น สร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับ 1, 2, 3, 4, ... ซึ่งจะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δ''a''<sub>0</sub> การแปลงออยเลอร์นั้นขึ้นกับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ในขั้นที่สูงขึ้นไปเรื่อย ๆ แต่ในกรณีนี้ลำดับขั้นต่อ ๆ ไปจะเป็นศูนย์ทั้งหมด การแปลงออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/1_−_2_%2B_3_−_4_%2B_·_·_·"