ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา

ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการหามุมระหว่างเข็มบนหน้าปัดนาฬิกาแอนะล็อก ซึ่งมีสองเข็มได้แก่ เข็มสั้นแทนชั่วโมง และเข็มยาวแทนนาที

แผนภาพแสดงมุมต่าง ๆ ที่เกิดจากเข็มของนาฬิกาแอนะล็อกที่กำลังแสดงเวลา 2:20

ปัญหาทางคณิตศาสตร์

ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกาเกี่ยวกับการวัดสองชนิดได้แก่ มุม และเวลา มุมโดยทั่วไปวัดจากขีดเลข 12 เวียนตามเข็มนาฬิกา ส่วนเวลาตามปกติก็ใช้พื้นฐานบนนาฬิกาสิบสองชั่วโมง

วิธีการที่จะแก้ปัญหาทำนองนี้คือการพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมในหน่วยองศาต่อนาที เข็มสั้นบนหน้าปัดสิบสองชั่วโมงตามปกติจะหมุนครบรอบ 360 องศาเมื่อครบ 12 ชั่วโมง (720 นาที) นั่นคืออัตรา 0.5 องศาต่อนาที ส่วนเข็มยาวจะหมุนครบรอบ 360 องศาใน 60 นาที นั่นคืออัตรา 6 องศาต่อนาที

สูตรคำนวณมุมของเข็มสั้น

$\theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}M_{\Sigma }={\frac {1}{2}}(60H+M)$

เมื่อ

• θ คือมุมในหน่วยองศาของเข็มสั้น วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา (หรือ 0 นาฬิกา)
• H คือจำนวนชั่วโมงที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา
• M คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปจากชั่วโมงเต็ม
• M_Σ คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา

สูตรคำนวณมุมของเข็มยาว

$\theta _{\text{min.}}=6M$

เมื่อ

• θ คือมุมในหน่วยองศาของเข็มยาว วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา
• M คือจำนวนนาที

ตัวอย่าง

กำหนดเวลาให้ 5:24 มุมของเข็มสั้นในหน่วยองศาเท่ากับ

$\theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}(60\times 5+24)=162$

และมุมของเข็มยาวในหน่วยองศาเท่ากับ

$\theta _{\text{min.}}=6\times 24=144$

สูตรคำนวณมุมระหว่างเข็มทั้งสอง

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|\theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H+M)-6M\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H-11M)\right|\end{aligned}}$

เมื่อ

• H คือจำนวนชั่วโมง
• M คือจำนวนนาที

ตัวอย่าง

กำหนดเวลาให้ 11:8 มุมระหว่างเข็มทั้งสองในหน่วยองศาเท่ากับ

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|{\frac {1}{2}}(60\times 2-11\times 20)\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(120-220)\right|\\&=50\end{aligned}}$

เวลาใดบ้างที่เข็มทั้งสองทับกันพอดี

เวลาที่เข็มสั้นและเข็มยาวทับกันพอดี หมายถึง เวลาที่มุมของเข็มสั้นและเข็มยาวเท่ากันพอดี คำนวณได้จาก

${\begin{aligned}\theta _{\text{hr}}&=\theta _{\text{min.}}\\\Rightarrow {\frac {1}{2}}(60H+M)&=6M\\\Rightarrow 11M&=60H\\\Rightarrow M&={\frac {60}{11}}H\\\Rightarrow M&=5.{\overline {45}}H\end{aligned}}$

H คือจำนวนชั่วโมงเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 11 ดังนั้นเราจะได้คำตอบว่าเวลาที่เข็มทั้งสองทับกันพอดีได้แก่ 0:00, 1:05.45, 2:10.90, 3:16.36, ฯลฯ (เวลา 0.45 นาทีมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ 27.27 วินาที)

ดูเพิ่ม

• ตำแหน่งนาฬิกา

แหล่งข้อมูลอื่น

• http://www.delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm
• http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - extensive clock angle analysis
• http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm เก็บถาวร 2010-06-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน