ทฤษฎีบทคึนเน็ท

ทฤษฎีบทคึนเน็ท (อังกฤษ: Künneth theorem) หรือ สูตรคึนเน็ท (อังกฤษ: Künneth formula) เป็นทฤษฎีบทในคณิตศาสตร์สาขาพีชคณิตเชิงฮอมอโลยีและทอพอโลยีเชิงพีชคณิต เนื้อหาของทฤษฎีบทนี้เชื่อมโยงฮอมอโลยีระหว่างวัตถุสองอัน กับผลคูณของวัตถุทั้งสอง

ทฤษฎีบทคึนเน็ทแบบคลาสสิคกล่าวถึงฮอมอโลยีซิงกิวลาร์ (singular homology) ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอัน $X$, ${\textstyle Y}$ และเชื่อมโยงเข้ากับฮอมอโลยีของปริภูมิผลคูณ $X\times Y$ ในกรณีที่ง่ายที่สุดความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นผลคูณเทนเซอร์ แต่โดยทั่วไปจะต้องอาศัยเครื่องมือทางพีชคณิตเชิงฮอมอโลยีเพื่อระบุออกมา

ทฤษฎีบทคึนเน็ทหรือสูตรคึนเน็ทเป็นจริงในทฤษฎีฮอมอโลยีและทฤษฎีคอฮอมอโลยีต่าง ๆ ซึ่งนิยมเรียกโดยรวมว่าสูตรของคึนเน็ท ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่แฮร์มัน คึนเน็ท (Hermann Künneth) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

ฮอมอโลยีซิงกิวลาร์แบบสัมประสิทธิ์มีค่าในฟิลด์

ให้ $X$ และ ${\textstyle Y}$ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรานิยมใช้ฮอมอโลยีซิงกิวลาร์ แต่ในกรณีที่ $X$ และ ${\textstyle Y}$ เป็น CW-complex อาจใช้ฮอมอโลยีเซลลูลาร์แทนได้ กรณีที่ง่ายที่สุดของสูตรคึนเน็ทคือเมื่อริงสัมประสิทธิ์เป็นฟิลด์ $F$ และทฤษฎีบทคึนเน็ทกล่าวว่าสำหรับจำนวนเต็ม $k$ ใด ๆ

$\bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;F)\otimes H_{j}(Y;F)\cong H_{k}(X\times Y;F)$

ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันสมสัณฐานข้างต้นเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานธรรมชาติ การส่งจากผลบวกข้างซ้ายมือไปยังกรุปฮอมอโลยีทางขวาเรียกว่า cross product ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ส่ง i-cycle บน $X$ และ j-cycle บน${\textstyle Y}$ มารวมกันให้ได้ $(i+j)$-cycle บน$X\times Y$ ทำให้ได้การส่งเชิงเส้นจากผลบวกตรงไปยัง $H_{k}(X\times Y)$

ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทคึนเน็ทประการหนึ่งคือ จำนวนเบ็ตตีซึ่งเป็นมิติของฮอมอโลยีที่มีสัมประสิทธิ์ใน $\mathbb {Q}$ สามารถเขียนออกมาได้ในเทอมของจำนวนเบ็ตตีของ $X$ และ ${\textstyle Y}$ ถ้า $p_{Z}(t)$ เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับของจำนวนเบ็ตตี $b_{k}(Z)$ ของปริภูมิ $Z$ แล้วจะได้ว่า

$p_{X\times Y}(t)=p_{X}(t)p_{Y}(t)$

ในกรณีที่ $X$ และ ${\textstyle Y}$ มีจำนวนเบ็ตตีจำกัดตัว เราจะได้เอกลักษณ์ของพหุนามปวงกาเร

ฮอมอโลยีซิงกิวลาร์แบบสัมประสิทธิ์มีค่าในโดเมนไอดีลมุขสำคัญ (PID)

สูตรข้างต้นในกรณีสัมประสิทธิ์มีค่าในฟิลด์นั้นไม่ซับซ้อนเพราะปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ประพฤติตัวดี หากเราเปลี่ยนริงสัมประสิทธิ์จะทำให้ความสัมพันธ์ซับซ้อนขึ้น กรณีข้างล่างพิจารณาเมื่อสัมประสิทธิ์มีค่าในโดเมนไอดีลมุขสำคัญ (PID) ซึ่งมีความสำคัญเพราะเซตของจำนวนเต็ม $\mathbb {Z}$ เป็นตัวอย่างหนึ่งของโดเมนไอดีลมุขสำคัญ

ภาวะสมสัณฐานในสมการข้างต้นไม่จริง และจำเป็นต้องพิจารณาทอร์ชันผ่านฟังก์เตอร์ทอร์ซึ่งเป็น derived functor ตัวแรกของผลคูณเทนเซอร์

เมื่อ $R$ เป็น PID แล้วทฤษฎีบทคึนเน็ทกล่าวว่า สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี $X$ และ ${\textstyle Y}$ และจำนวนเต็ม $k$ จะมี short exact sequence

$0\to \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;R)\otimes _{R}H_{j}(Y;R)\to H_{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\mathrm {Tor} _{1}^{R}(H_{i}(X;R),H_{j}(Y;R))\to 0$

ยิ่งไปกว่านี้แล้ว sequence เหล่านี้จะ split แต่ไม่ split แบบ canonically

ตัวอย่าง

สูตร Short exact sequences ข้างต้นสามารถใช้คำนวณกรุปฮอมอโลยี $H_{k}(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )$ แบบมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มของผลคูณ $\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2}$ ระหว่างระนาบเชิงการฉาย (real projective plane) สองอันได้ ระนาบเชิงการฉายและผลคูณเป็น CW complexes และเขียนแทนกรุปฮอมอโลยี $H_{i}(\mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )$ ด้วย $h_{i}$ เราสามารถคำนวณฮอมอโลยีเซลลูลาร์ได้โดยง่ายว่า

$h_{0}\cong \mathbb {Z}$,

$h_{1}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$,

$h_{i}=0$ สำหรับค่า i อื่นๆ

Tor group อันเดียวที่ไม่เป็นศูนย์ระหว่างกรุป $h_{i}$ ทั้งหมดข้างต้น คือ

$\mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\cong \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

ดังนั้นสูตรคึนเน็ทจึงลดรูปไปเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานในทุกดีกรี เพราะจะมีกรุปศูนย์ในทุกกรณีปรากฎอยู่ใน short exact sequence ทำให้ได้ผลลัพธ์ว่า

${\begin{aligned}H_{0}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} \\H_{1}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{1}\;\oplus \;h_{1}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{2}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{1}\otimes h_{1}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{3}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;\mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

และกรุปฮอมอโลยีอื่นเป็นศูนย์

สูตร Künneth spectral sequence

สำหรับริง $R$ ทั่วไป ฮอมอโลยีระหว่าง $X$ และ ${\textstyle Y}$ จะเชื่อมโยงกับฮอมอโลยีของผลคูณโดย Künneth spectral sequence

$E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\mathrm {Tor} _{p}^{R}(H_{q_{1}}(X;R),H_{q_{2}}(Y;R))\Rightarrow H_{p+q}(X\times Y;R).$

ซึ่งลดรูปเป็นกรณีข้างต้นในกรณีสัมประสิทธิ์มีค่าในฟิลด์ หรือสัมประสิทธิ์มีค่าในโดเมนไอดีลมุขสำคัญ

ความสัมพันธ์กับพีชคณิตเชิงฮอมอโลยีและแนวทางการพิสูจน์

เชนคอมเพล็กซ์ (chain complex) ของปริภูมิ $X\times Y$ เชื่อมกับเชนคอมเพล็กซ์ของ $X$ และ ${\textstyle Y}$ โดย quasi-isomorphism

$C_{*}(X\times Y)\cong C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y).$

สำหรับ singular chains นี่เป็นทฤษฎีบทของไอเลนแบร์ก-ซิลเบอร์ สำหรับ cellular chains บน CW complexes จะได้ฟังก์ชันสมสัณฐานทันที แล้วจะได้ว่า ฮอมอโลยีของผลคูณเทนเซอร์ทางขวาเป็นผลจาก spectral Künneth formula ในพีชคณิตเชิงฮอมอโลยี

เนื่องจาก chain modules นั้น free จะได้ว่าในทางเรขาคณิตไม่จำเป็นต้องใช้ hyperhomology หรือ total derived tensor product

มีข้อความคล้ายกันสำหรับคอฮอมอโลยีซิงกิวลาร์ และคอฮอมอโลยีชีฟ สำหรับคอฮอมอโลยีชีฟบนวาไรอิตีเชิงพีชคณิต Alexander Grothendieck พบ spectral sequence ทั้งหมด 6 สูตรที่เชื่อมโยงระหว่าง hyperhomology groups ของ chain complexes of sheaves สองอัน และ hyperhomology group ของผลคูณเทอเซอร์ระหว่างชีพทั้งสอง

สูตรของคึนเน็ทในทฤษฎีฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยีทั่วไป

มีทฤษฎีฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยีทั่วไปจำนวนมากสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวอย่างที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ K-theory และ cobordism แต่ทฤษฎีเหล่านี้ไม่สามารถนิยามผ่านเชนคอมเพล็กซ์ได้ ดังนั้นสูตรคึนเน็ทจึงไม่สามารถพิสูจน์โดยใช้วิธีพีชคณิตเชิงฮอมอโลยีแบบข้างต้นได้ อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทคึนเน็ทที่มีสูตรคล้ายคลึงกันสามารถพิสูจน์ได้โดยวิธีอื่น

บทพิสูจน์แรกเป็นของ Michael Atiyah สำหรับ complex K-theory จากนั้นเป็นบทพิสูจน์ของ Pierre Conner และ Edwin E. Floyd ใน cobordism มีการค้นพบวิธีพิสูจน์ทั่ว ๆ ไปโดยใช้ทฤษฎฮอมอโทปีของมอดูลเหนือ highly structured ring spectra ซึ่งแคทิกอรีฮอมอโทปีของมอดูลประเภทดังกล่าวใกล้เคียงกับderived category ในพีชคณิตเชิงฮอมอโลยี

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Künneth formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4