ทฤษฎีบทของโรลล์

ในแคลคูลัส ทฤษฎีบทของโรลล์ หรือ บทแทรกของโรล กล่าวว่าฟังก์ชันค่าจริงใด ๆ ที่หาอนุพันธ์ได้ และมีจุดสองจุดที่ทำให้ฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากัน จะต้องมีจุดนิ่งอย่างน้อยหนึ่งจุดระหว่างจุดสองจุดนั้น หรืออีกนัยหนึ่งคือ จะต้องมีจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์ นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับแรก

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a,b]$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b)$ และ $f(a)=f(b)$ แล้วจะมีจำนวนจริง $c$ ในช่วง $(a,b)$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ $f'(c)=0$

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

รูปแบบมาตรฐานของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทของโรลล์ — ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a,b]$ (โดยที่ $a<b$) และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b)$ และ $f(a)=f(b)$ แล้วจะมีจำนวนจริง $c$ ในช่วง $(a,b)$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ $f'(c)=0$

ทฤษฎีบทของโรลล์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งทฤษฎีบทของโรลล์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดังกล่าวอีกทอดหนึ่ง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของโรลล์ยังเป็นฐานสำหรับพิสูจน์ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ อีกด้วย

ประวัติ

แม้ว่าทฤษฎีบทจะตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ แต่บทพิสูจน์ในปี 1691 ของโรลล์นั้นครอบคลุมเฉพาะกรณีฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัส ซึ่งในตอนนั้นเขาถือว่าเป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีของโรลล์ในรูปแบบปัจจุบันนี้พิสูจน์ครั้งแรกโดย ออกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี ในปี ค.ศ. 1823 โดยเป็นบทแทรกหนึ่งของ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ชื่อ "ทฤษฎีบทของโรลล์" ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย มอริตซ์ วิลเฮล์ม โดรบิสช์ ชาวเยอรมันในปี 1834 และ กุยอิสโต เบลลาวิติส ชาวอิตาลีในปี 1846

ตัวอย่าง

ครึ่งวงกลมรัศมี $r$

ตัวอย่างแรก: ครึ่งวงกลม

กำหนดรัศมี $r>0$ พิจารณาฟังก์ชันรูปครึ่งวงกลม

$f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r]$

กราฟของฟังก์ชันข้างต้นคือครึ่งวงกลมส่วนบนที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วงปิด $[-r,r]$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(-r,r)$ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดปลาย $-r$ และ $r$ ทั้งสอง

เนื่องจาก $f(-r)=f(r)$ เราสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของโรลล์กับฟังก์ชันนี้ได้ และจะเห็นว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของ $f$ เป็นศูนย์ สังเกตว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดปลายของช่วงปิดได้ เนื่องจากต้องการความหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันบนช่วงเปิดเท่านั้น

ตัวอย่างที่สอง: ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ถ้าฟังก์ชันไม่มีสมบัติหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด อาจไม่ได้ผลลัพธ์ตามทฤษฎีบทของโรลล์ พิจารณาฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

$f(x)=|x|,\qquad x\in [-1,1]$

พบว่า $f(-1)=f(1)$ แต่ไม่มีค่า $c$ ระหว่าง −1 และ 1 ที่ทำให้ $f'(c)=0$ ทั้งนี้เป็นเพราะว่าฟังก์ชันดังกล่าวหาอนุพันธ์ที่จุด $x=0$ ไม่ได้

สังเกตว่าอนุพันธ์ของ $f$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด $x=0$ แต่เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้ไม่ได้เพราะฟังก์ชัน $f$ ไม่ได้หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในช่วงเปิด อย่างไรเสียเราจะเห็นว่า $f$ มีจุดวิกฤติในช่วงดังกล่าว

กรณีทั่วไป

 ตัวอย่างที่สองเป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์:

ทฤษฎีบทของโรลล์แบบทั่วไป — พิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่อง $f$ บนช่วงปิด $[a,b]$ ที่ซึ่ง $f(a)=f(b)$ ถ้าหากสำหรับทุก $x$ ในช่วงเปิด $(a,b)$ พบว่าอนุพันธ์ทางขวา

$f'(x^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

และอนุพันธ์ทางซ้าย

$f'(x^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

หาค่าได้บนเส้นจำนวนจริงขยาย $[-\infty ,\infty ]$ แล้วจะมีจำนวนจริง $c$ ในช่วงเปิด $(a,b)$ ที่ทำให้ลิมิตค่าหนึ่งจากในสองค่า

$f'(c^{+})\quad {\text{และ}}\quad f'(c^{-})$

มีค่า ≥ 0 และอีกค่าที่เหลือ ≤ 0 (บนเส้นจำนวนจริงขยาย)

ในกรณีที่ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันทั้งสองค่าสำหรับทุก $x$ แล้วฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ และจะได้ทฤษฎีบทของโรลล์

ข้อสังเกต

• ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันเว้าหรือฟังก์ชันนูน แล้วอนุพันธ์ทางขวาและอนุพันธ์ทางซ้ายจะหาได้ทุกจุด ดังนั้นลิมิตขางต้นย่อมหาได้และเป็นจำนวนจริง
• รูปแบบทั่วไปนี้เพียงพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนถ้าอนุพันธ์ทางเดียวเป็นฟังก์ชันเพิ่มทางเดียว

$f'(x^{-})\leq f'(x^{+})\leq f'(y^{-}),\qquad x<y$

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง
• การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
• ทฤษฎีบทเกาส์-ลูกาส์

ลิงก์ภายนอก

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Rolle theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Rolle's and Mean Value Theorems ที่cut-the-knot.
• บทพิสูจน์ในระบบมิซาร์ proof: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2