จำนวนสมบูรณ์

จำนวนสมบูรณ์ (อังกฤษ: perfect number) คือ จำนวนเต็มที่มีผลบวกของตัวหารแท้ เท่ากับตัวมันเอง

ภาพแสดงสถานะจำนวนสมบูรณ์ของเลข 6

หก (6) เป็นจำนวนสมบูรณ์ตัวแรก เพราะว่า 6 มีตัวหารแท้คือ 1, 2, 3 และ 1 + 2 + 3 = 6 จำนวนสมบูรณ์ตัวถัดไปคือ 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 จำนวนสมบูรณ์ตัวถัดไปอีกคือ 496 และ 8128 (ลำดับ  A000396)

จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นถูกค้นพบโดยชาวกรีกโบราณ

จำนวนสมบูรณ์คู่

ยุคลิดได้ค้นพบว่า จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นสามารถหาโดยใช้สูตร 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) ได้

สำหรับ n = 2:   2¹(2² − 1) = 6

สำหรับ n = 3:   2²(2³ − 1) = 28

สำหรับ n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

สำหรับ n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 8128

สังเกตว่าในแต่ละตัวอย่างที่ยกมา 2ⁿ − 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น ยุคลิดได้พิสูจน์ว่า ถ้า 2ⁿ − 1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว สูตร 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) จะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์คู่เสมอ

นักคณิตศาสตร์สมัยก่อน ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์จากจำนวนสมบูรณ์ที่เขารู้เพียง 4 ตัว ซึ่งสมมติฐานที่เขาได้ตั้งส่วนใหญ่จะผิด เช่น สมมติฐานที่ว่า เพราะว่า n = 2, 3, 5, 7 เป็นจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรก ที่นำไปแทนในสูตรแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์ ดังนั้น n = 11 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 5 จะทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น สมมติฐานนี้จึงผิด สมมติฐานที่ผิดอีกสองข้อ ได้แก่

• จำนวนสมบูรณ์ตัวที่ 5 จะต้องมี 5 หลัก เพราะว่าจำนวนสมบูรณ์ 4 ตัวแรกมี 1, 2, 3, 4 หลัก ตามลำดับ
• จำนวนสมบูรณ์จะลงท้ายด้วยเลข 6 หรือ 8 สลับกันเสมอ

จำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า ($33550336=2^{12}(2^{13}-1)$) มี 8 หลัก ดังนั้นสมมติฐานข้อแรกจึงผิด. สำหรับสมมติฐานข้อสองนั้น แม้ว่าจำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า จะลงท้ายด้วยเลข 6 แต่จำนวนสมบูรณ์ตัวที่หก (8 589 869 056) ไม่ได้ลงท้ายด้วยเลข 8 สมมติฐานข้อสองจึงผิด. เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนสมบูรณ์จะมีเลขหลักสุดท้ายเป็น 6 หรือ 8 เสมอ (แต่ไม่จำเป็นต้องสลับกัน)

คุณสมบัติของจำนวนสมบูรณ์อันหนึ่งที่น่าสนใจก็คือ ส่วนกลับของตัวประกอบของจำนวนสมบูรณ์ จะรวมกันได้ 2 เสมอ เช่น

• สำหรับ 6, จะได้ $1/6+1/3+1/2+1/1=2$
• สำหรับ 28, จะได้ $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$

จำนวนสมบูรณ์คี่

ยังไม่มีใครรู้ว่าจำนวนสมบูรณ์คี่นั้นมีอยู่จริงหรือไม่ เมื่อไม่นานมานี้ Carl Pomerance และ Joshua Zelinsky ได้แสดงฮิวริสติกว่าไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่จริง

สมมติว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่ N อยู่จริงแล้ว มันจะต้องมีคุณสมบัติต่อไปนี้

• N จะอยู่ในรูป

$N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},$

เมื่อ q, p₁, …, p_k คือ จำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (ออยเลอร์)

• N จะมากกว่า 10³⁰⁰
• N จะอยู่ในรูป 4j + 1 (A. Stern, 1896)
• N จะมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย 8 ตัว (และอย่างน้อย 11 ตัว ถ้ามันหาร 3 ไม่ลงตัว) (Peter Hagis)
• N จะมีตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดอย่างน้อย 75 ตัว, รวมที่นับซ้ำด้วย (Kevin Hare, 2005)
• N จะมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 1 ตัวที่มากกว่า 10⁷, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 2 ตัวที่มากกว่า 10⁴, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 3 ตัวที่มากกว่า 100
• N จะน้อยกว่า $2^{4^{n}}$ เมื่อ n=k+1 คือ จำนวนตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน
• N จะอยู่ในรูป 12j + 1 หริอ 36j + 9 (Jacques Touchard) (วิธีพิสูจน์พื้นฐานถูกค้นพบโดย Judy A. Holdener)

อ้างอิง

• Kevin Hare, New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint, 2005. อ่านได้จากเว็บเพจของเขา เก็บถาวร 2005-11-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน