ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด

ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด (อังกฤษ: Pollard's rho algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีแบบสุ่มที่ใช้หาตัวประกอบของจำนวนประกอบที่มีค่ามาก โดยอาศัยคุณสมบัติของการหาร เพื่อให้หาตัวประกอบของเลขจำนวนนั้น ๆ ได้เร็ว ขั้นตอนวิธีนี้ จอห์น พอลลาร์ด (John Pollard) นำเสนอขึ้นในปี 1975 และต่อมา ริชาร์ด เบรนท์ (Richard Brent) ปรับปรุงในปี 1980

แนวความคิดหลัก

ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดมีพื้นฐานมาจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ (en:Floyd's cycle-finding algorithm) และ จากการสังเกตถึงคุณสมบัติของตัวเลขที่จะมีคุณสมบัติหนึ่งๆเหมือนกัน ซึ่งคล้ายกับในปัญหาวันเกิด ( en:Birthday problem, en:Birthday paradox ) นั่นคือ หากต้องการหาตัวเลข 2 ตัว x และ y ที่มีคุณสมบัติหารด้วยตัวเลข p แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน หรือ x สมภาคกับ y มอดุโล p ( x congruent y modulo p ) จะมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.5 หลังจากสุ่มตัวเลขมาแล้ว $1.177{\sqrt {p}}$ ตัว หากให้ p เป็น ตัวประกอบหนึ่งของ n เมื่อ n คือตัวเลขที่ต้องการหาตัวประกอบ จะได้ว่า $p\leq \gcd \left(x-y,n\right)\leq n$ เนื่องจาก p หาร $x-y$ และ $n$ ลงตัว

ขั้นตอนวิธีโรห์ จะใช้ f ฟังก์ชันมอดุโล n สำหรับการสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม (en:pseudo-random sequence) โดยลำดับทั้งสองจะมีความเร็วในการเลื่อนลำดับต่างกัน 2 เท่า กล่าวคือ ลำดับหนึ่งจะเลื่อนไป 2 ขั้น ในขณะที่อีกลำดับ จะเลื่อนไปเพียง 1 ขั้นเท่านั้น หากให้ x และ y เป็นตัวแทนสำหรับตัวเลขในลำดับทั้ง 2 ในขณะหนึ่ง จะทำการหาค่า ห.ร.ม. ( GCD ) ของ $|x-y|$ และ $n$ โดยถ้าหาก ห.ร.ม. มีค่า
- เท่ากับ n จะทำให้ขั้นตอนวิธีนี้จบการทำงานลงด้วยความผิดพลาด เนื่องจาก ห.ร.ม. จะมีค่าเท่ากับ n ได้ เมื่อ x = y ซึ่งจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ จะได้ว่า ลำดับที่สร้างได้พบกับวงวน และการทำงานในครั้งต่อๆไปก็จะเป็นการทำงานซ้ำเดิมกับงานที่เคยทำไปแล้ว
- เท่ากับ 1 แสดงว่า ยังหาตัวประกอบไม่เจอ ให้กลับไปเลือก x และ y จากลำดับตัวเลขสุ่มเทียมตัวต่อไป โดย x_ใหม่ = f(x_เดิม) และ y_ใหม่ = f(f(y_เดิม)) แล้วกลับไปทำแบบเดิมอีกครั้งหนึ่ง
- เท่ากับ ค่าอื่นๆ แสดงว่า ค่าที่ได้นั้น คือตัวประกอบตัวหนึ่งของ n นั่นเอง

ขั้นตอนวิธี

นำเข้า: n, เป็นเลขจำนวนเต็มที่ต้องการหาตัวประกอบ; และ f (x), เป็นฟังก์ชันสุ่มเทียมมอดุโล n

ส่งออก: ตัวประกอบของ n, หรือพบข้อผิดพลาด (หาไม่เจอ).

1. x ← 2, y ← 2; d ← 1
2. While d = 1:
   1. x ← f (x)
   2. y ← f (f (y))
   3. d ← GCD (|x − y|, n)
3. If d = n, return failure. (พบข้อผิดพลาด)
4. Else, return d.

หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้อาจจะไม่พบตัวประกอบ และแจ้งว่าพบข้อผิดพลาดถึงแม้ว่า n จะเป็นจำนวนประกอบ สำหรับกรณีนี้ให้เปลี่ยน f (x) และลองทำอีกครั้ง

หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้ไม่สามารถทำงานได้หาก n เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก d จะเป็น 1 เสมอ

การปรับปรุง

ในปี 1980 ริชาร์ด เบรนท์ ได้ตีพิมพ์ผลงานที่เร็วกว่า เขาได้ใช้แนวความคิดหลักเช่นเดียวกับ พอลลาร์ด แต่แตกต่างกันในเรื่องของขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวน โดยได้ใช้ วิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของเบรนท์ (Brent's cycle finding method) แทนขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์

การเพิ่มประสิทธิภาพในครั้งต่อมาถูกกระทำโดย พอลลาร์ด และเบรนท์ ทั้ง 2 ได้พบว่า ถ้า $\gcd(a,n)>1$ แล้ว $\gcd(ab,n)>1$ สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก b ใดๆ กล่าวโดยละเอียดคือ แทนที่จะคำนวณหา $\gcd(|x-y|,n)$ ทุกๆขั้น, จะทำการกำหนดค่า z เป็นผลคูณของ พจน์ $|x-y|$ จำนวน 100 พจน์ที่ติดกัน มอดุโล n และคำนวณหา $\gcd(z,n)$ เพียงหนึ่งครั้ง โดยความเร็วที่เพิ่มขึ้นนั้นได้จากการเปลี่ยน การหา ห.ร.ม. จำนวน 100 ครั้ง เป็นการ คูณ มอดุโล n จำนวน 99 ครั้ง และ การหา ห.ร.ม 1 ครั้ง แต่ในบางครั้ง วิธีนี้อาจจะทำให้ขั้นตอนวิธีเกิดข้อผิดพลาดโดยการใช้ตัวประกอบที่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มกำลัง 2 แต่ก็สามารถจะแก้ไข้ได้โดยย้อนกลับไปที่จุดที่ $\gcd(z,n)=1$ แล้วใช้ ขั้นตอนวิธีโรห์ แบบปกติจากจุดนั้น

การใช้งาน

ขั้นตอนวิธีโรห์มักถูกนำไปใช้ในการหาตัวประกอบของจำนวนที่มีขนาดใหญ่ ที่ไม่สามารถหาได้อย่างรวดเร็วด้วยขั้นตอนวิธีแบบปกติ โดยเฉพาะจำนวนที่เกิดจากการนำจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองตัวคูณกัน

ขั้นตอนวิธีโรห์จะใช้เวลาในการหาตัวประกอบได้อย่างรวดเร็วหากตัวประกอบนั้นมีค่าน้อย ตัวอย่างเช่น บนเครื่องที่มีความเร็ว 3 GHz ขั้นตอนวิธิโรห์ของพอลลาร์ดสามารถหาตัวประกอบ 274177 ของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 (18446744073709551617) ในเวลา 26 มิลลิวินาที; ขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงโดยเบรนท์ สามารถหาตัวประกอบเดียวกันนี้ในเวลา 5 มิลลิวินาที แต่สำหรับจำนวนที่เกิดจากจำนวนเฉพาะสองตัวคูณกัน และที่มีความยาวเท่ากันกับจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 นั้น (10023859281455311421) การทำงานหาตัวประกอบบนเครื่องเดียวกัน ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดต้องใช้เวลาถึง 109 มิลลิวินาทีถึงจะพบตัวประกอบ ส่วนขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงใช้เวลา 31 มิลลิวินาที

สำหรับ f ฟังก์ชันตัวสุ่มเทียมมอดุโล n จะเลือกใช้ฟังก์ชัน พหุนาม พร้อมกับค่าคงที่จำนวนเต็ม c โดยรูปแบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือ

$f(x)=(x^{2}+c){\hbox{ mod }}n,\,c\neq 0,-2.$

ขั้นตอนวิธีโรห์มีความโดดเด่นจากความสำเร็จในการหาตัวประกอบของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 8 โดย พอลลาร์ด และ เบรนท์ ซึ่งใช้เวลาทั้งหมด 2 ชั่วโมงบนเครื่อง UNIVAC 1100/42

ตัวอย่างการหาตัวประกอบ

ให้ n = 8051 และ f (x) = (x² + 1) mod 8051

i	xi	yi	GCD (│xi − yi│, 8051)
1	5	26	1
2	26	7474	1
3	677	871	97

97 เป็นตัวประกอบของ 8051 สำหรับการเปลี่ยนค่า c อาจจะให้คำตอบเป็นตัวประกอบอีกตัวคือ 83 แทนที่จะเป็น 97

อัตราการเติบโต

ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนี้ต้องแลกเปลี่ยนระหว่างเวลาที่ใช้ในการค้นหา กับโอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบ นั่นคือหากต้องการให้โอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบนั้นมีค่าสูง ก็จะต้องใช้เวลามากขึ้น ถ้าหาก n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีค่าแตกต่างกัน ระยะเวลาที่ใช้สำหรับขั้นตอนวิธีนี้ จะต้องสุ่มตัวเลขมา O (n^1/4 polylog (n)) ครั้ง ถึงจะมีความน่าจะเป็นในการค้นพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 สำหรับพจน์ n^1/4 นั้นก็มาจากที่ n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน ดังนั้น n^1/2 ก็จะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของ n และจากที่ทราบว่า ความน่าจะเป็นในการพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 เมื่อสุ่มตัวเลขมาแล้ว $1.177{\sqrt {p}}$ ตัว เมื่อ p คือตัวประกอบของ n ดังนั้นหากแทนค่า p ด้วย n^1/2 ก็จะได้พจน์ n^1/4 (หมายเหตุ: การวิเคราะห์นี้เป็นเพียงการประมาณโดยคร่าวๆ สำหรับการวิเคราะห์อย่างละเอียด ยังรอให้พิสูจน์อยู่)

สรุป

ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดช่วยให้สามารถแยกตัวประกอบของจำนวนใหญ่ๆได้อย่างรวดเร็ว โดยอาศัยขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (ใช้ฟังก์ชันสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม) ซึ่งทำได้ดีกว่าขั้นตอนวิธีตามปกติที่จะใช้เวลานานกว่ามาก แต่ก็ต้องพึงระวังว่าคำตอบที่บอกว่าไม่พบตัวประกอบนั้นอาจจะผิด เพราะมีโอกาสที่หาแล้วไม่พบ เนื่องจากสุ่มตัวเลขไม่มากพอที่จะเจอตัวประกอบนั้น การนำขั้นตอนวิธีโรห์ไปใช้จึงต้องเลือกให้ดีว่า อยากจะให้ทำงานได้เร็วแค่ไหน อยากจะให้โอกาสผิดน้อยขนาดไหนถึงยอมรับได้ ซึ่งเป็นสองสิ่งที่ต้องแลกเปลี่ยนกัน โดยสรุป ขั้นตอนวิธีโรห์นี้สามารถนำไปใช้งานในการแยกตัวประกอบได้จริง และมีประสิทธิภาพที่น่าประทับใจอีกด้วย

อ้างอิง

• Brent, Richard P. (1980), "An Improved Monte Carlo Factorization Algorithm" (PDF), BIT, 20: 176–184, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2009-09-24, สืบค้นเมื่อ 2011-09-08
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L. & Stein, Clifford (2001), "Section 31.9: Integer factorization", Introduction to Algorithms (Second ed.), Cambridge, MA: MIT Press, pp. 896–901, ISBN 0262032937 (this section discusses only Pollard's rho algorithm).
• Pollard, J. M. (1975), "A Monte Carlo method for factorization", BIT Numerical Mathematics, 15 (3): 331–334

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Prime Factorization Algorithms" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Pollard rho Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Brents Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Birthday Problem" จากแมทเวิลด์.

ตัวอย่างเพิ่มเติม

• ตัวอย่างในภาษาจาวา เก็บถาวร 2009-03-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• ตัวอย่างในภาษาไพทอน
• ตัวอย่างโปรแกรมแสดงการหาตัวประกอบด้วยวิธีโรห์ของพอลลาร์ดด้วยภาษาจาวา เก็บถาวร 2012-09-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน