กระดูกนาเปียร์

กระดูกนาเปียร์ (อังกฤษ: Napier's bones) เป็นเครื่องมือช่วยคำนวณ ประดิษฐ์โดย จอห์น นาเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ ใช้ช่วยคูณและหารตัวเลข ลักษณะเป็นท่อนไม้สลักตัวเลข

การคูณ

สมมติว่าเราต้องการหาผลคูณของ 46785399 กับ 7 ให้นำแท่งไม้เรียงตาม 46785399 ไปวางไว้ในตาราง ตามในรูป และอ่านผลลัพธ์จากแถวที่ 7 โดยอ่านจากขวามาซ้าย ผลคูณจะได้จากการบวกเลขตามแนวทแยง (ถ้าผลบวกเกิน 9 ให้ทดไปบวกหลักต่อไป)

ดังนั้น เราจะได้หลักหน่วย (3), หลักสิบ (6+3=9), หลักร้อย (6+1=7), และอื่นๆ สังเกตว่าในหลักแสนจะได้ 5+9=14 ดังนั้น หลักนี้เท่ากับ 4 และทด 1 ไปหลักต่อไป (เหมือนกับ 4+8=12 ในหลักสิบล้าน)

ตัวอย่างถัดไปเราจะคูณ 46785399 กับ 96431 ศึกษาขั้นตอนจากภาพ

การหาร

ต้องการหาร 46785399 ด้วย 96431 เริ่มด้วยให้เราหาผลคูณทุกตัวของ 96431 ดังภาพ ผลคูณของ 96431 เป็นเลข 8 หลัก การหาร 46785399 เริ่มจากทางซ้ายก่อน คือ 467853 ,8 ตัว ส่วนเลข 99 ให้ละเอาไว้ก่อน แล้วหาค่าผลคูณที่ใกล้เคียง 467853 คือ 385724 (ซึ่งเป็นผลคูณของ 96431 กับ 4) จะได้ 4 เป็นผลหารตัวแรก จากนั่นลบกัน จะได้ 82129 (467853- 385724=82129) และดึง 99 ที่ละไว้ลงมาด้วยเป็น 8212999 ทำซ้ำอีกครั้ง ค่าที่ใกล้เคียง 8212999 คือ 771448 จะได้ เลข 5

ทำซ้ำแบบนี้เรื่อย ๆ จะได้คำตอบ 485 เศษ 16364 ส่วน 96431หรือ $485{\frac {16364}{96431}}$ ถ้าเราต้องการจะหารต่อไปอีกจะต้องติดอยู่ในรูปทศนิยม โดยหลักการแล้วเหมือนกับที่เราได้เรียนกันมาในสมัยประถม คือ ให้เราใส่จุดที่ 485. และเติมศูนย์ที่ 16364 จะได้เป็น 163640 แล้วก็ทำเหมือนเดิมอีก ดังตัวอย่างรูปด้านล่างนี้

เราจะได้ค่าในแถวที่ 1 คือ 96431 ซึ่งน้อยกว่า 163640 ลบกับได้ 67209 ได้คำตอบเป็น 485.1 ในรอบถัดไปก็จะได้แถวที่ 6 มีค่าเป็น 578586 ซึ่งน้อยกว่า 672090 ได้คำตอบเป็น 485.16 เช่นนี้ไปเรื่อย ๆ

การหารากที่สอง

จากภาพเราได้เพิ่มช่องตารางอีกหนึ่งช่อง คือ &radic ซึ่งจะถูกแบ่งเป็น 3 สดมภ์ : สดมภ์แรกเป็นเลขกำลังสอง คือ 1, 4, 9, ... 64, 81; สดมภ์ที่สองเป็นเลขคู่ 2 ถึง 18; สดมภ์สุดท้าย 1 ถึง 9

Napier's rods with the square root bone

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	√
1	0/1	0/2	0/3	0/4	0/5	0/6	0/7	0/8	0/9	0/1     2   1
2	0/2	0/4	0/6	0/8	1/0	1/2	1/4	1/6	1/8	0/4     4   2
3	0/3	0/6	0/9	1/2	1/5	1/8	2/1	2/4	2/7	0/9     6   3
4	0/4	0/8	1/2	1/6	2/0	2/4	2/8	3/2	3/6	1/6     8   4
5	0/5	1/0	1/5	2/0	2/5	3/0	3/5	4/0	4/5	2/5   10   5
6	0/6	1/2	1/8	2/4	3/0	3/6	4/2	4/8	5/4	3/6   12   6
7	0/7	1/4	2/1	2/8	3/5	4/2	4/9	5/6	6/3	4/9   14   7
8	0/8	1/6	2/4	3/2	4/0	4/8	5/6	6/4	7/2	6/4   16   8
9	0/9	1/8	2/7	3/6	4/5	5/4	6/3	7/2	8/1	8/1   18   9

ต้องการหารากที่สองของ 46785399 ขั้นแรก ให้เราแบ่งตัวเลขออกมาเป็นชุด ชุดละ 2 ตัว จากทางขวาไปซ้าย

46 78 53 99

Note: ถ้าเป็น 85399 จะแบ่งได้เป็น 8 53 99

เริ่มจากทางซ้ายสุดก่อน 46 ให้หาเลขกำลังสองที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 46 ซึ่งก็คือ 36 ในแถวที่ 6 จะเป็นคำตอบตัวแรก ลบกันจะได้ 10 แล้วให้เราดึงเลขชุดที่สอง 78 ลงมาเป็น 1078 ดังที่ได้แสดงไว้ด้านล่าง :

1 2 √ 1 0/1 0/2 0/1     2   1 2 0/2 0/4 0/4     4   2 3 0/3 0/6 0/9     6   3 4 0/4 0/8 1/6     8   4 5 0/5 1/0 2/5   10   5 6 0/6 1/2 3/6   12   6 7 0/7 1/4 4/9   14   7 8 0/8 1/6 6/4   16   8 9 0/9 1/8 8/1   18   9

_____________ √46 78 53 99 = 6 36 -- 10 78

ทำซ้ำเหมือนเดิม คือ เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูจากกระดูกนาเปียร์แล้วมีค่าไม่ถึง 1078 จะทำอย่างไร ขั้นที่สอง จากคำตอบตัวแรกที่เราได้คือ 6(จากแถวที่ 6)ใน column ที่ 2 ของตารางช่อง root เป็นเลข 12 ให้เรา set Napier's bones ท่อนที่ 1 และ 2 ดังตารางด้านบน

ต่อไปให้เราสร้างช่องตารางเพิ่มอีกหนึ่งช่อง value เป็นช่องแสดงค่า ตัวอย่าง อ่านค่าในแถวที่ 6 จะได้

⁰/₆ ¹/₂ ³/₆ → 756

ต่อไป เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูในช่อง value จะได้ 1024 ในแถวที่ 8 ดังตารางด้านล่าง และทำตามขั้นตอนเดิม

1 2 √ (value) 1 0/1 0/2 0/1     2   1 121 2 0/2 0/4 0/4     4   2 244 3 0/3 0/6 0/9     6   3 369 4 0/4 0/8 1/6     8   4 496 5 0/5 1/0 2/5   10   5 625 6 0/6 1/2 3/6   12   6 756 7 0/7 1/4 4/9   14   7 889 8 0/8 1/6 6/4   16   8 1024 9 0/9 1/8 8/1   18   9 1161

_____________ √46 78 53 99 = 68 36 -- 10 78 10 24 ----- 54

เราจะได้ 8 เป็นคำตอบตัวถัดมา เราลบ 1024 กับ 1078 ได้ 54 จากนั้นเราอ่านค่าใน column ที่ 2 ของแถวที่ 8 ในช่องของ root มีค่าเป็น 16 เราจะต้องเรียงตัวเลขในกระดานใหม่(ไม่ใช่ ท่อนที่ 1 กับ 6)เป็น 136 ซึ่งมาจากเดิมในกระดานเรามี 1 กับ 2 อยู่ก่อนแล้ว เลข 16 ที่เราได้ ต้องทำการเพิ่มโดย เลข 1 ในหลักสิบของเลข 16 ไปบวก 12 เป็น 12+1 = 13 เพราะฉะนั้นเราได้เป็นเลข 136 ให้เราเรียงให้กระดานเป็นเลข 136

12 + 1 = 13 → append 6 → 136

Note: ถ้าใน column ที่ 2 ของช่อง root เป็นเลขตัวเดียว ให้เราใช้เลขตัวนั้นต่อไปเลย

เราจะได้ลักษณะดังตารางด้านล่าง

1 3 6 √ 1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1 2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2 3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3 4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4 5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5 6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6 7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7 8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8 9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9

_____________ √46 78 53 99 = 68 36 -- 10 78 10 24 ----- 54 53

ทำซ้ำอีกครั้ง โดยหาเลขผลรวมที่มีค่าใกล้เคียงกับ 5453 ซึ่งก็คือ 4089 ในแถวที่ 3

1 3 6 √   1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1 1361 2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2 2724 3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3 4089 4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4 5456 5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5 6825 6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6 8196 7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7 9569 8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8 10944 9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9 12321

_____________ √46 78 53 99 = 683 36 -- 10 78 10 24 ----- 54 53 40 89 ----- 13 64

แหล่งข้อมูลอื่น

• กระดูกนาเปียร์ในระบบตัวเลขต่าง ๆ (ใช้จาวา)
• Large PDF scan of Rabdologiæ เก็บถาวร 2007-09-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน